НЕЗАВИСНИ ДОГАЂАЈИ: ДЕМОНСТРАЦИЈЕ, ПРИМЕРИ, ВЕЖБЕ - ДУДАС - 2025

Два догађаја су независна , када на вероватноћу да се један од њих догоди не утиче чињеница да се други догоди - или се не догоди - с обзиром да се ти догађаји дешавају насумично.

Ова околност се дешава кад год процес који генерише резултат догађаја 1 ни на који начин не промени вероватноћу могућих резултата догађаја 2. Али ако се то не догоди, догађаји се кажу да зависе.

Слика 1. Обојени мермери се често користе како би се објаснила вероватноћа независних догађаја. Извор: Пикабаи.

Независна ситуација догађаја је следећа: Претпоставимо да се ролају две шестеростране коцкице, једна плава, а друга ружичаста. Вероватноћа да ће се 1 преврнути на плавој матрици је независна од вероватноће да ће се 1 окренути - или се не ваља - на ружичасту матрицу.

Други случај два независна догађаја је случај бацања новчића два пута заредом. Резултат првог бацања неће зависити од резултата другог и обрнуто.

Доказ о два независна догађаја

Да бисмо проверили да су два догађаја независна, дефинисаћемо концепт условне вероватноће једног догађаја у односу на други. За то је потребно разликовати ексклузивне догађаје од инклузивних догађаја:

Два догађаја су искључива ако могуће вредности или елементи догађаја А немају ништа заједничко са вредностима или елементима догађаја Б.

Стога је у два искључива догађаја скуп пресека А са Б вакуум:

Искључујући догађаје: А∩Б = Ø

Напротив, ако су догађаји инклузивни, може се догодити да се резултат догађаја А подудара с резултатом другог Б, с тим да су А и Б различити догађаји. У овом случају:

Инклузивни догађаји: А∩Б = Ø

То нас доводи до дефинисања условне вероватноће два инклузивна догађаја, другим речима, вероватноће појаве догађаја А, кад год се догоди догађај Б:

П (А¦Б) = П (А∩Б) / П (Б)

Стога је условна вероватноћа вероватноћа да ће се догодити А и Б дељена са вероватноћом да ће се појавити Б. Вероватноћа да ће се Б појавити условна А такође се може дефинисати:

П (Б¦А) = П (А∩Б) / П (А)

Критеријуми за знати да ли су два догађаја независна

Даље ћемо дати три критеријума како бисмо знали да ли су два догађаја независна. Довољно је да се испуни једно од три, како би се показала независност догађаја.

1.- Ако је вероватноћа да се А појави сваки пут када се Б догоди једнака вероватноћи А, онда су то независни догађаји:

П (А¦Б) = П (А) => А је независно од Б

2.- Ако је вероватноћа да се Б појави дат А једнака вероватноћи Б, тада постоје независни догађаји:

П (Б¦А) = П (Б) => Б је независно од А

3.- Ако је вероватноћа да се А и Б догоде једнака производу вероватноће да се А догоди и вероватноће да ће се Б догодити, онда су то независни догађаји. Супротно је такође тачно.

П (А∩Б) = П (А) П (Б) <=> А и Б су независни догађаји.

Примери независних догађаја

Упоређују се гумени ђонови које производе два различита добављача. Узорци сваког произвођача подвргнути су неколико испитивања из којих се закључује да ли су или не у спецификацијама.

Слика 2. Разноликост гумених ђона. Извор: Пикабаи.

Резултирајући резиме 252 узорка је следећи:

Произвођач 1; 160 испуњавају спецификације; 8 не задовољавају спецификације.

Произвођач 2; 80 испуњавају спецификације; 4 не задовољавају спецификације.

Евент А: "да је узорак од произвођача 1".

Евент Б: „да узорак испуњава спецификације.“

Желимо знати да ли су ови догађаји А и Б независни или не, за шта примењујемо један од три критеријума која су поменута у претходном одељку.

Критеријум: П (Б¦А) = П (Б) => Б је независно од А

П (Б) = 240/252 = 0,9523

П (Б¦А) = П (А ⋂ Б) / П (А) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Закључак: Догађаји А и Б су независни.

Претпоставимо догађај Ц: „да узорак долази од произвођача 2“

Да ли ће догађај Б бити независан од догађаја Ц?

Примењујемо један од критеријума.

Критеријум: П (Б¦Ц) = П (Б) => Б је независно од Ц

П (Б¦Ц) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = П (Б)

Стога, на основу доступних података, вјероватноћа да насумично изабрани гумени потплат испуњава спецификације, није овисан о произвођачу.

Претворите независни догађај у зависан догађај

Погледајмо следећи пример да разликујемо зависне и независне догађаје.

Имамо кесу са две куглице са белом чоколадом и две црне куглице. Вероватноћа добијања беле или црне кугле једнака је при првом покушају.

Претпоставимо да је резултат био кугла. Ако се извучена кугла замени у торби, првотна ситуација се понавља: ​​две беле куглице и две црне кугле.

Дакле, у другом догађају или извлачењу, шансе за цртање или црну куглу су идентичне као и први пут. Они су, дакле, независни догађаји.

Али ако играчка кугла извучена у првом догађају не буде замењена јер смо је појели, у другом извлачењу постоје веће шансе да се црта лопта. Вероватноћа да ће друга екстракција поново добити белу разликује се од верзије првог догађаја и условљена је претходним резултатом.

Вежбе

- Вежба 1

У кутију смо ставили 10 мермера са слике 1, од којих су 2 зелене боје, 4 су плаве, а 4 беле. Два мермера ће бити изабрана насумично, један први и један касније. Од њега се тражи да се утврди
вероватноћа да ниједно од њих није плаво, под следећим условима:

а) Заменом, односно враћањем првог мермера пре другог избора у кутију. Наведите да ли су то независни или зависни догађаји.

б) Без замене, на начин да се први извађени мермер остави ван оквира током другог избора. Слично томе, наведите да ли су они зависни или независни догађаји.

Решење за

Израчунавамо вероватноћу да први извађени мермер није плав, што је 1 минус вероватноћа да је плави П (А), или директно да није плав, јер је изашао зелено или бело:

П (А) = 4/10 = 2/5

П (не плава) = 1 - (2/5) = 3/5

О добро:

П (зелена или бела) = 6/10 = 3/5.

Ако се извучени мермер врати, све је као и раније. У овом другом извлачењу такође је вјероватноћа 3/5 да извучени мермер није плав.

П (није плава, није плава) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Догађаји су независни, јер је извучени мермер враћен у кутију, а први догађај не утиче на вероватноћу појављивања другог.

Решење б

За прву екстракцију поступите као у претходном одељку. Вероватноћа да није плава је 3/5.

За друго вађење имамо 9 мермера у торби, јер се први није вратио, али није био плав, дакле у торби је 9 мермера, а 5 није плаво:

П (зелена или бела) = 5/9.

П (ниједно плаво) = П (прво није плаво). П (друго није плаво / прво није плаво) = (3/5). (5/9) = 1/3

У овом случају то нису независни догађаји, јер први догађај условљава други.

- Вежба 2

Продавница има 15 мајица у три величине: 3 мале, 6 средњих и 6 великих. 2 кошуље су одабране насумично.

а) Колика је вероватноћа да су обе кошуље одабране мале, ако се једна узме прва и без замене друге у партији?

б) Колика је вероватноћа да су обе одабране мајице мале, ако је једна нацртана прва, замењена у хрпи, а друга уклоњена?

Решење за

Ево два догађаја:

Догађај А: прва одабрана мајица је мала

Евент Б: друга одабрана мајица је мала

Вероватноћа да се догоди догађај А је: П (А) = 3/15

Вероватноћа да ће се догодити догађај Б је: П (Б) = 2/14, јер је кошуља већ била уклоњена (остало је 14), али и случај А жели да се испуни, прва мајица мора бити малена и зато обојица су 2 мала.

Односно, вероватноћа да ће А и Б бити резултат вероватноће је:

П (А и Б) = П (Б¦А) П (А) = (2/14) (3/15) = 0,029

Према томе, вероватноћа да се догађај А и Б догоди једнака је производу који се догодио А, што је и вероватније да ће се догађај Б догодити ако догађај А.

Треба напоменути да је:

П (Б¦А) = 2/14

Вероватноћа да ће се догађај Б догодити без обзира да ли се догађај А догодио или не биће:

П (Б) = (2/14) ако је прва мала, или П (Б) = 3/14 ако прва није мала.

Генерално се може закључити следеће:

П (Б¦А) није једнак П (Б) => Б није независно од А

Решење б

Опет се догађају два догађаја:

Догађај А: прва одабрана мајица је мала

Евент Б: друга одабрана мајица је мала

П (А) = 3/15

Сјетите се да без обзира на резултат, кошуља извучена из шарже буде замењена и опет се мајица извлачи насумично. Вероватноћа да ће се догодити догађај Б, ако се догодио догађај А, је:

П (Б¦А) = 3/15

Вероватноћа да ће се догодити догађаји А и Б биће:

П (А и Б) = П (Б¦А) П (А) = (3/15) (3/15) = 0,04

Напоменути да:

П (Б¦А) је једнак П (Б) => Б је независно од А.

- Вежба 3

Размотримо два независна догађаја А и Б. Познато је да је вероватноћа да се догађај А догоди 0,2, а вероватноћа да се догађај Б догоди 0,3. Колика је вероватноћа да се догоди оба догађаја?

Решење 2

Знајући да су догађаји независни, познато је да је вероватноћа да ће се оба догађаја догодити производ појединачних вероватноћа. Односно,

П (А∩Б) = П (А) П (Б) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Имајте на уму да је вероватноћа далеко мања од вероватноће да ће се сваки догађај догодити без обзира на исход другог. Или, другачије речено, много нижим од појединачних квота.

Референце

1. Беренсон, М. 1985. Статистика за менаџмент и економију. Интерамерицана СА 126-127.
2. Монтерреи Институте. Вероватноћа независних догађаја. Опоравак од: монтерреиинституте.орг
3. Наставник математике. Независни догађаји. Опоравак од: иоутубе.цом
4. Суперпроф. Врсте догађаја, зависни догађаји. Опоравак од: суперпроф.ес
5. Виртуелни учитељ. Вероватноћа. Опоравак од: витутор.нет
6. Википедиа. Независност (вероватноћа). Опоравак од: википедиа.цом