СЦАЛЕНЕ ТРОУГАО: КАРАКТЕРИСТИКЕ, ФОРМУЛА И ПОДРУЧЈА, ПРОРАЧУН - МАТХС - 2024

Разнострани је полигон са три стране, од којих сви имају различите мере или дужине; Из тог разлога је добио име скале, што на латинском значи пењање.

Троуглови су полигони који се сматрају најједноставнијим у геометрији, јер су сачињени од три стране, три угла и три врха. У случају троугла скале, ако се све стране разликују, подразумева се да ће и његова три угла бити превише.

Карактеристике скале троуглова

Скелени троуглови су једноставни полигони јер ниједна страна или угао немају исту меру, за разлику од једнакостела и једнакостраничних троуглова.

Пошто све њихове стране и углови имају различите мере, ови троуглови се сматрају неправилним конвексним многокутом.

На основу амплитуде унутрашњих углова, скалени троуглови су класификовани као:

• Десни троугао скалене : све стране су различите. Један од његових углова је прави (90 ^или ), а други су оштри и са различитим мерама.
• Тупи скали трокута : све стране су различите, а један од његових углова је тупо (> 90 ^или ).
• Сцалене акутни троугао : све стране су различите. Сви углови су акутни (<90 ^или ) са различитим мерама.

Још једна карактеристика скале троуглова је да због нескладности њихових страна и углова немају осовину симетрије.

Компоненте

Медијана : то је линија која почиње од средине једне стране и достиже супротни врх. Тројица медијана састају се у тачки која се зове барицентар или центроид.

Бисектор : то је зрака која дели сваки угао на два угла једнаке мере. Бисектори трокута се састају у тачки која се зове потицај.

Бисектор : то је сегмент окомит на страну троугла, који има порекло у средини. Постоје три бисектора у троуглу и састају се у тачки која се зове ободни центар.

Висина : то је линија која иде од вертекса у страну која је супротна а такође је та линија окомита на ту страну. Сви троуглови имају три висине које се поклапају у тачки која се зове ортоцентар.

Својства

Скалански троуглови су дефинисани или идентификовани јер имају неколико својстава која их представљају, а потичу из теорема које су предложили велики математичари. Су:

Унутрашњи углови

Збир унутрашњих углова увек је једнак 180 ^° .

Збир страна

Збир мера две стране увек мора бити већи од мере треће стране, а + б> ц.

Неконверзивне стране

Све стране скале троуглова имају различите мере или дужине; то јест, они су неспособни.

Неускладни углови

Пошто су све стране скале троугла различите, његови углови ће такође бити превише. Међутим, збир унутрашњих углова увек ће бити једнак 180 °, а у неким случајевима један од његових углова може бити туп или прави, док ће у другим сви углови бити оштри.

Висина, медијан, бисектор и бисектор нису случајни

Као и било који троугао, скала има различите сегменте линија који је чине, као што су: висина, средња вредност, бисектор и бисектор.

Због посебности његових страна, у овој врсти троугла ниједна од ових линија неће се подударати у једној.

Ортоцентар, барицентар, стимулус и циркоцентар нису случајни

Како су висина, медијан, бисектор и бисектор представљени различитим сегментним линијама, у скале трокута, тачке сусрета - ортоцентар, потицај и обруч - налазе се у различитим тачкама (не подударају се).

Зависно од тога да ли је троугао акутни, десни или скалени, ортоцентар има различите локације:

до. Ако је троугао акутни, ортоцентар ће бити унутар троугла.

б. Ако је троугао у праву, ортоцентар ће се подударати са врхом десне стране.

ц. Ако је троугао затупан, ортоцентар ће бити на спољној страни троугла.

Релативне висине

Висине су у односу на стране.

У случају трокута скале, ове висине ће имати различита мерења. Сваки троугао има три релативне висине и за њихово израчунавање користи се Херонова формула.

Како израчунати обод?

Периметар полигона се израчунава додавањем страница.

Будући да у овом случају скалирани троугао има све стране са различитим мерама, његов обод ће бити:

П = страна а + страна б + страна ц.

Како израчунати површину?

Површина троугла увек се израчунава истом формулом, множењем висине основног времена и дељењем са два:

Површина = (база _* х) ÷ 2

У неким случајевима висина троугла скале није позната, али постоји формула коју је предложио математичар Херон, да би се израчунала површина познавајући меру три стране троугла.

Где:

• а, б и ц, представљају странице троугла.
• сп, одговара полупериметру троугла, то јест половини обода:

сп = (а + б + ц) ÷ 2

У случају да имамо само меру двеју страна троугла и угла формираног између њих, површина се може израчунати применом тригонометријских односа. Дакле, морате:

Површина = (страна _* х) ÷ 2

Где је висина (х) производ једне стране и синус супротног угла. На пример, за сваку страну, област ће бити:

• Површина = (б _* ц _* син А) ÷ 2
• Површина = (а _* ц _* син Б) ÷ 2.
• Површина = (а _* б _* син Ц) ÷ 2

Како израчунати висину?

Пошто су све стране скале троугла различите, није могуће израчунати висину питагорејским теоремом.

Из Херонове формуле која се заснива на мерењима три стране троугла може се израчунати површина.

Висина се може очистити из опште формуле подручја:

Страна се замењује мером стране а, б или ц.

Други начин израчунавања висине када је позната вредност једног од углова је примјена тригонометријских омјера, при чему висина представља ногу троугла.

На пример, када је познат угао насупрот висини, он ће бити одређен синусом:

Како израчунати стране?

Када имате меру две стране и угла насупрот њима, могуће је одредити трећу страну применом косине теореме.

На пример, у троуглу АБ је приказана висина у односу на сегмент АЦ. На овај начин је троугао подељен на два права троугла.

Да бисте израчунали страну ц (сегмент АБ), примените питагорејску теорему за сваки троугао:

• За плави троугао имамо:

ц ² = х ² + м ²

Пошто је м = б - н, заменимо:

ц ² = х ² + б ² (б - н) ²

ц ² = х ² + б ² - 2бн + н ² .

• За ружичасти троугао морате:

х ² = а ² - н ²

Замењује се у претходној једначини:

ц ² = а ² - н ² + б ² - 2бн + н ²

ц ² = а ² + б ² - 2 млрд.

Знајући да је н = а _* цос Ц, супституисан је у претходној једначини и добија се вредност стране ц:

ц ² = а ² + б ² - 2б _* а _* цос Ц.

Законом косинуса стране се могу израчунати као:

• а ² = б ² + ц ² - 2б _* ц _* цос А.
• б ² = а ² + ц ² - 2а _* ц _* цос Б.
• ц ² = а ² + б ² - 2б _* а _* цос Ц.

Постоје случајеви где мере страна троугла нису познате, већ њихова висина и углови формирани на врховима. За одређивање подручја у тим случајевима, потребно је примијенити тригонометријске омјере.

Знајући угао једне од његових врхова, ноге се идентификују и користи се одговарајући тригонометријски однос:

На пример, нога АБ ће бити супротна угла Ц, али поред угла А. У зависности од стране или ноге која одговара висини, друга страна се брише да би се добила вредност овог.

Вежбе

Прва вежба

Израчунајте површину и висину скале троугла АБЦ, знајући да су његове стране:

а = 8 цм.

б = 12 цм.

ц = 16 цм.

Решење

Као подаци дају се мерења три стране скале троугла.

Пошто вредност висине није доступна, површина се може одредити применом Херонове формуле.

Прво се израчунава полупериметар:

сп = (а + б + ц) ÷ 2

сп = (8 цм + 12 цм + 16 цм) ÷ 2

сп = 36 цм ÷ 2

сп = 18 цм.

Сада су вредности замењене у Хероновој формули:

Познавајући подручје, може се израчунати висина у односу на страну б. Из опште формуле, прочишћавајући то, имамо:

Површина = (страна _* х) ÷ 2

46, 47 цм ² = (12 цм _* х) ÷ 2

х = (2 _* 46,47 цм ² ) ÷ 12 цм

х = 92,94 цм ² ÷ 12 цм

х = 7,75 цм.

Друга вежба

С обзиром на скале троугла АБЦ, чије су мере:

• Сегмент АБ = 25 м.
• Сегмент БЦ = 15 м.

У вертикали Б се формира угао од 50 °. Израчунајте висину у односу на страну ц, обод и површину тог троугла.

Решење

У овом случају имамо мерења две стране. За одређивање висине потребно је израчунати мерење треће стране.

Пошто је дат угао супротан датим странама, могуће је применити закон косинуса за одређивање мере стране АЦ (б):

б ² = а ² + ц ² - 2а _* ц _* цос Б

Где:

а = БЦ = 15 м.

ц = АБ = 25 м.

б = АЦ.

Б = 50 ^о .

Подаци се замењују:

б ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* цос 50

б ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

б ² = (225) + (625) - (482.025)

б ² = 367,985

б = 67367,985

б = 19,18 м.

Пошто већ имамо вредност три стране, израчунава се обод тог троугла:

П = страна а + страна б + страна ц

П = 15 м + 25 м + 19, 18 м

П = 59,18 м

Сада је могуће одредити површину применом Херонове формуле, али прво се мора израчунати полупериметар:

сп = П ÷ 2

сп = 59,18 м ÷ 2

сп = 29,59 м.

Мерења страна и полупериметар су супституисана у Хероновој формули:

Коначно познавајући подручје, може се израчунати висина у односу на страну ц. Из опште формуле, чистећи то морате:

Површина = (страна _* х) ÷ 2

143,63 м ² = (25 м _* х) ÷ 2

х = (2 _* 143,63 м ² ) ÷ 25 м

х = 287,3 м ² ÷ 25 м

х = 11,5 м.

Трећа вежба

У скале трокута АБЦ страна б је 40 цм, страна ц је 22 цм, а на врху А, угао 90 је формиран ^или . Израчунајте површину тог троугла.

Решење

У овом случају дате су мере две стране скале троугла АБЦ, као и угао који се формира у врху А.

Да бисте одредили површину, није потребно израчунати меру стране а, јер се помоћу тригонометријских односа користи угао да би се пронашла.

Пошто је угао супротан висини познат, он ће бити одређен производом једне стране и синусом угла.

Замјеном у формули подручја имамо:

• Површина = (страна _* х) ÷ 2
• х = ц _* син А

Површина = (б _* ц _* син А) ÷ 2

Површина = (40 цм _* 22 цм _* син 90) ÷ 2

Површина = (40 цм _* 22 цм _* 1) ÷ 2

Површина = 880 цм ² ÷ 2

Површина = 440 цм ² .

Референце

1. Алваро Рендон, АР (2004). Технички цртеж: радна свеска.
2. Ангел Руиз, ХБ (2006). Геометриес. ЦР технологија,.
3. Ангел, АР (2007). Елементарна алгебра. Пеарсон Едуцатион,.
4. Балдор, А. (1941). Алгебра. Хавана: Култура.
5. Барбоса, ЈЛ (2006). Равна еуклидска геометрија. Рио де Жанеиро,.
6. Цокетер, Х. (1971). Основе геометрије. Мексико: Лимуса-Вилеи
7. Даниел Ц. Алекандер, ГМ (2014). Елементарна геометрија за студенте. Ценгаге Леарнинг.
8. Харпе, П. д. (2000). Теме из теорије геометријских група. Университи оф Цхицаго Пресс.