ВЕКТОР: КАРАКТЕРИСТИКЕ И СВОЈСТВА, ЕЛЕМЕНТИ, ВРСТЕ, ПРИМЕРИ - НАУКА - 2025

У вектори су математички ентитети који су генерално у пратњи мерну јединицу -поситива- величине и правац добро. Такве карактеристике су веома погодне за опис физичких величина као што су брзина, сила, убрзање и још много тога.

Са векторима је могуће изводити операције попут додавања, одузимања и производа. Подјела није дефинирана за векторе, а што се тиче производа, постоје три класе које ћемо описати касније: тачка продукт или тачка, векторски производ или криж и производ скала од вектора.

Слика 1. Елементи вектора. Извор: Викимедиа Цоммонс.

Да би се вектор потпуно описао, морају се навести све његове карактеристике. Величина или модул је нумеричка вредност праћена јединицом, док се смер и смисао успостављају помоћу координатног система.

Погледајмо пример: претпоставимо да авион лети из једног града у други брзином од 850 км / х, у правцу НЕ. Овде имамо потпуно одређени вектор, будући да је магнитуде доступна: 850 км / х, док су правац и смисао НЕ.

Вектори су обично графички представљени оријентисаним сегментима линија, чија је дужина пропорционална величини.

Иако је потребно одредити правац и смисао, потребна је референтна линија, која је обично хоризонтална осовина, иако се север такође може узети као референца, такав је случај брзина равнине:

Слика 2. Вектор брзине. Извор: Ф. Запата.

Слика приказује брзину вектор авиона, означено као в у подебљаним словима , да га издвајају од скалара количине, која само захтијева нумеричку вредност и неке јединице бити назначена.

Елементи вектора

Као што смо рекли, елементи вектора су:

-Величина или модул, који се понекад назива и апсолутна вредност или норма вектора.

-Адреса

-Сенсе

У примјеру на слици 2, модул в износи 850 км / х. Модул се означава као в без подебљаних или као - в -, где траке представљају апсолутну вредност.

Правац в је одређен у односу на север. У овом случају је 45 ° северно од истока (45 ° североисточно). Коначно врх стрелице обавештава о осећају в .

У овом примјеру, подријетло вектора је цртано коинцидирајући с пореклом О координатног система, то је познато као вектор везан. С друге стране, ако се извор вектора не подудара са референтним системом, каже се да је слободан вектор.

Треба напоменути да би у потпуности специфицирали вектор, ова три елемента морају се имати на уму, у супротном би опис вектора био непотпун.

Правокутне компоненте вектора

Слика 3. Правокутне компоненте вектора у равни. Извор: Викимедиа Цоммонс. урантхер

На слици имамо назад свој пример вектор в , који је у ки равнини.

Лако је видети да пројекције в на координате оси к и и одређују прави троугао. Те пројекције су в _{и и} в _к и зову се правоугаоне компоненте в .

Један начин да се в означи са в правоугаоним компонентама је овај: в =к, в _и >. Ови заграде се користе уместо заграде да би се нагласила чињеница да је вектор а не период, јер би се у овом случају користиле заграде.

Ако је вектор у тродимензионалном простору, потребна је још једна компонента, тако да:

в =к, в _и , в _з >

Познавање правоугаоне компоненте се израчунава величина вектора, што је еквивалентно проналажење хипотенузу десног троугла чије су ноге в _к и против _{и ,.} Из питагорејске теореме слиједи да:

Поларна форма вектора

Када су познати величина вектора - в - и угао θ који он чини са референтном оси, углавном хоризонталном осе, вектор је такође наведен. Каже се да се вектор изражава у поларном облику.

Правоугаоне компоненте у овом случају се лако израчунавају:

Према горе наведеном, правоугаоне компоненте вектора брзине в равнине би биле:

Врсте

Постоји неколико врста вектора. Постоје вектори брзине, положаја, померања, силе, електричног поља, замаха и многих других. Као што смо већ рекли, у физици постоји велики број векторских количина.

Што се тиче вектора који имају одређене карактеристике, можемо поменути следеће врсте вектора:

-Нулл : ово су вектори чија је магнитуда 0 и која су означена као 0. Упамтите да подебљано слово симболизира три основне карактеристике вектора, док нормално слово представља само модул.

На пример, на телу у статичкој равнотежи, збир сила мора бити нулти вектор.

- Слободни и повезани : слободни вектори су они чији полазишта и доласци представљају било који пар тачака у равнини или простору, за разлику од повезаних вектора, чије порекло се поклапа са референтним системом који се користи за њихово описивање.

Пар или тренутак произведен од стране пар сила добар је пример слободног вектора, јер пар не важи за било коју одређену тачку.

- Екуиполентес : то су два слободна вектора који имају идентичне карактеристике. Због тога имају једнаку величину, смер и осећај.

- Цопланар или цопланар : вектори који припадају истој равнини.

- Супротности : вектори исте величине и правца, али супротних смера. Вектор насупрот вектору в је вектор - в, а збир обоје је нулти вектор: в + (- в ) = 0 .

- Паралелно : вектори чије линије деловања пролазе кроз исту тачку.

- Клизачи : су они вектори чија тачка примене може клизити дуж одређене линије.

- Колинеарни : вектори који се налазе на истој линији.

- Јединствени : они вектори чији је модул 1.

Ортогонални вектори јединице

Постоји врло користан тип вектора у физици који се назива ортогонални јединични вектор. Вектор ортогоналне јединице има модул једнак 1 и јединице могу бити било које, на пример јединице брзине, положаја, силе или друге.

Постоји скуп специјалних вектора који помажу да се лако представе други вектори и да се с њима обављају операције: они су вектори ортогоналних јединица и , ј и к , јединица и окомито један на други.

У две димензије, ови вектори су усмерени дуж позитивног смера и оси к и и. И у три димензије додаје се јединични вектор у правцу позитивне з оси. Они су представљени на следећи начин:

и = <1, 0,0>

ј = <0,1,0>

к = <0,0,1>

Вектор се може представити помоћу векторских јединица и , ј и к на следећи начин:

в = в _к и + в _и ј + в _з к

На пример, вектор брзине в у претходним примерима може се записати као:

в = 601,04 и + 601,04 ј км / х

Компонента у к није неопходна, јер је овај вектор у равни.

Векторски додатак

Збир вектора се појављује врло често у различитим ситуацијама, на пример када желите да нађете резултантну силу на објекат на који утичу разне силе. За почетак претпоставимо да у равнини имамо два слободна вектора у и в , као што је приказано на следећој слици на левој страни:

Слика 4. Графичка сума два вектора. Извор: Викимедиа Цоммонс. Ллуц кабанак.

Одмах се пажљиво преноси у вектор в , не мењајући његову величину, смер или осећај, тако да се његово порекло подудара са крајем у .

Збир вектора назива се в и црта се почевши од у који завршава на в , према десној слици. Важно је напоменути да величина вектора в није нужно збир магнитуда в и у .

Ако пажљиво размислите, једини пут да је величина добијеног вектора збир зброја додатака је када су оба додавања у истом смеру и имају исти смисао.

А шта се догађа ако вектори нису слободни? Такође их је лако додати. Начин за то је додавањем компоненте компоненти или аналитичким методама.

Као пример, размотримо векторе на следећој слици, прва ствар је да се изразе на један од картузијанских начина претходно објасњених:

Слика 5. Збир два повезана вектора. Извор: Викимедиа Цоммонс.

в = <5.1>

у = <2,3>

Да бисте добили к-компоненту сум вектора в , додајте одговарајуће к-компоненте од в и у : в _к = 5 + 2 = 7. И да добију в _и Аналогна процедура је праћен: в _и = 1 + 3. Тако:

у = <7.4>

Својства векторског додавања

- Зброј два или више вектора резултира другим вектором.

-То је комутативно, редослед додатака не мења збир на такав начин да:

у + в = в + у

- Неутрални елемент суме вектора је нулти вектор: в + 0 = в

- одузимање два вектора је дефинисано као сума супротног: в - у = в + (-у)

Примери вектора

Као што смо рекли, у физици постоје бројне векторске количине. Међу најпознатије су:

-Посиција

-Премештај

-Средња брзина и тренутна брзина

-Убрзање

-Сила

-Колико покрета

-Торек или тренутак силе

-Импулс

-Електрично поље

-Магнетно поље

-Магнетични тренутак

С друге стране, они нису вектори, већ скалари:

-Веатхер

-Масс

-Температура

-Волум

-Густина

-Механички рад

-Енергија

-Здраво

-Снага

-Напон

-Електрична струја

Остале операције између вектора

Поред сабирања и одузимања вектора, постоје још три врло важне операције између вектора, јер оне дају веома важне нове физичке величине:

-Производ скала од стране вектора.

-Точни производ или тачкасти производ између вектора

-И крижни или векторски производ између два вектора.

Производ скалара и вектора

Размотримо Невтонов други закон који каже да су сила Ф и убрзање а пропорционални. Константа пропорционалности је маса м објекта, дакле:

Ф = м. до

Маса је скалар; са своје стране, сила и убрзање су вектори. Пошто се сила добија множењем масе убрзањем, она је резултат скалара и вектора.

Ова врста производа увек резултира вектором. Ево још једног примера: количина кретања. Нека је П вектор момента, в вектор брзине, и као и увек, м је маса:

П = м. в

Тачкасти производ или тачкасти производ између вектора

Механички рад смо ставили на листу количина које нису вектори. Међутим, рад у физици резултат је операције између вектора који се називају скаларни производ, унутрашњи производ или тачкасти производ.

Нека вектори в и у дефинирају тачку или скаларни продукт између њих као:

в ∙ у = - в - ∙ - у -.цос θ

Где је угао између њих. Из приказане једнаџбе одмах следи да је резултат тачканог производа скаларни и да су, ако су оба вектора окомита, њихов тачкасти производ је 0.

Повратак на механички рад В, ово је скаларни продукт између вектора силе Ф и вектора помака ℓ .

Када су вектори доступни по питању њихових компоненти, тачкасти производ је такође врло лако израчунати. Ако је в =к, в _и , в _з > и у =к, у _и , у _з >, тачкасти производ између ова два је:

в ∙ у = в _к у _к + в _и у _и + в _з у _з

Производ тачака између вектора је комутативан, дакле:

в ∙ у = у ∙ в

Укрштени производ или векторски производ између вектора

Ако су в и у наша два пример вектора, векторски производ дефинирамо као:

в к у = в

Одмах следи да унакрсни производ резултира вектором, чији је модул дефинисан као:

Где је угао између вектора.

Попречни производ није комутативан, дакле в к у = у к в. У ствари в к у = - (у к в).

Ако су два примера вектора изражена у смислу јединичних вектора, израчунавање векторског производа је олакшано:

в = в _к и + в _и ј + в _з к

у = у _к и + у _и ј + у _з к

Укрштајте производе између јединичних вектора

Производ укрштања између идентичних векторских јединица је нула, пошто је угао између њих 0 °. Али између различитих векторских јединица, угао између њих је 90 °, а син 90 ° = 1.

Следећи дијаграм помаже у проналажењу ових производа. У правцу стрелице има позитиван смер, а у супротном негативном смеру:

и к ј = к, ј к к = и; к к и = ј; ј к и = -к; к к ј = -и; и к к = -ј

Примјењујући својство дистрибуције, која још увијек вриједи за производе између вектора и својства јединичних вектора, имамо:

в к у = (в _к и + в _и ј + в _з к ) к (у _к и + у _и ј + у _з к ) =

Решене вежбе

- Вежба 1

С обзиром на векторе:

в = -5 и + 4 ј + 1 к

у = 2 и -3 ј + 7 к

Колики мора бити вектор в да би в + у + в био 6 и +8 ј -10 к ?

Решење

Стога мора бити испуњено да:

Одговор је: в = 9 и +7 ј - 18 к

- Вежба 2

Колики је угао између вектора в и у у вежби 1?

Решење

Користићемо тачки производ. Из дефиниције имамо:

в ∙ у = -10 -12 + 7 = -15

Замјена ових вриједности:

Референце

1. Фигуероа, Д. (2005). Серија: Физика за науку и инжењерство. Том 1. Кинематика. Уредио Доуглас Фигуероа (УСБ).
2. Гианцоли, Д. 2006. Физика: принципи примјене. 6. Ед Прентице Халл.
3. Рек, А. 2011. Основе физике. Пеарсон.
4. Сеарс, Земански. 2016. Универзитетска физика са савременом физиком. 14тх. Ед, свезак 1.
5. Серваи, Р., Јеветт, Ј. 2008. Физика за науку и инжењерство. Том 1. 7тх. Ед. Ценгаге Леарнинг.