ДИМЕНЗИОНАЛНА АНАЛИЗА: ТЕХНИКЕ, ПРИНЦИП И ВЕЖБЕ - ФИЗИЧКИ - 2025

Димензиони анализа је алат широко користи у разним гранама науке и технике да боље разумеју феномен који укључују присуство различитих физичких величина. Количине имају димензије и из њих се изводе различите мерне јединице.

Порекло концепта димензије налази се код француског математичара Јосепха Фоуриера, који га је сковао. Фоуриер је такођер разумио да би биле двије једначине упоредиве, морају бити хомогене у односу на своје димензије. Другим речима, бројила се не могу додати килограмима.

Дакле, димензионална анализа је одговорна за проучавање величине, димензија и хомогености физичких једначина. Из тог разлога се често користи за проверу односа и израчунавања или за конструкцију хипотеза о компликованим питањима која се касније могу експериментално тестирати.

На овај начин, димензионална анализа је савршен алат за откривање грешака у прорачунима проверавањем конгруенције или недоследности јединица које се у њима користе, стављајући посебан фокус на јединице коначних резултата.

Поред тога, димензионална анализа користи се за дизајнирање систематских експеримената. Омогућује смањење броја неопходних експеримената, као и олакшавање интерпретације добијених резултата.

Једна од основних основа димензионалне анализе је та што је могуће представити било коју физичку величину као производ сила мање количине, познате као фундаменталне величине из којих су изведене остале.

Основне величине и димензијска формула

У физици се основним величинама сматрају оне које омогућавају другима да се изразе у функцији ових. Према договору изабрано је: дужина (Л), време (Т), маса (М), интензитет електричне струје (И), температура (θ), јачина светлости (Ј) и количина материје (Н).

Напротив, остатак се сматра произведеним количинама. Неки од њих су: површина, запремина, густина, брзина, убрзање, између осталих.

Димензионална формула је дефинисана као математичка једнакост која представља однос између изведене количине и фундаменталне.

Технике димензионалне анализе

Постоје различите технике или методе димензионалне анализе. Два најважнија су следећа:

Раилеигх метода

Раилеигх, који је заједно са Фоуриером био један од претходника димензионалне анализе, развио је директан и врло једноставан метод који нам омогућава да добијемо елементе без димензија. У овој методи се следе следећи кораци:

1- Дефинисана је потенцијална функција знакова зависне променљиве.

2- Свака променљива се мења у одговарајућим димензијама.

3- Успостављене су једнаџбе услова хомогености.

4- Непознати су постављени.

5- Изложене су експоненте које су израчунате и фиксиране у једначини потенцијала.

6- Групе променљивих се померају да би се дефинисали бездимензионални бројеви.

Буцкингхамска метода

Ова метода се заснива на Буцкингхамовој теореми или пи теореми која каже следеће:

Ако постоји хомогени димензионални однос између броја "н" физичких или променљивих величина где су укључене различите п основне димензије, постоји и димензионални хомогени однос између н - п, независних бездимензионалних група.

Принцип димензионалне хомогености

Фоуриеров принцип, познат и као принцип димензионалне хомогености, утиче на правилно структуирање израза који алгебрично повезују физичке величине.

То је принцип који има математичку конзистентност и каже да је једина опција одузимање или додавање физичких величина исте природе. Стога није могуће додати масу дужине, нити времена површине, итд.

Слично томе, принцип каже да, да би физичке једнаџбе биле димензионално исправне, укупан број чланова две стране једнакости мора имати исту димензију. Овај принцип омогућава гарантовање кохеренције физичких једначина.

Принцип сличности

Принцип сличности је проширење димензијске карактеристике хомогености физичких једначина. Наводи се на следећи начин:

Физички закони остају непромењени када се суоче са променама димензија (величине) физичког догађаја у истом систему јединица, било да су то промене стварне или имагинарне природе.

Најјаснија примена принципа сличности дешава се у анализи физичких својстава модела направљеног у мањем обиму, да би се касније користили резултати у објекту у стварној величини.

Ова пракса је од суштинске важности у областима као што су дизајн и производња авиона и бродова и у великим хидрауличким радовима.

Апликације

Многе апликације димензионалне анализе укључују оне наведене у наставку.

- Пронађите могуће грешке у извршеним операцијама

- Решавање проблема чије решавање представља неке непремостиве математичке потешкоће.

- Дизајнирајте и анализирајте мале моделе.

- Направите запажања о томе како могуће модификације утичу на модел.

Такође се димензионална анализа користи прилично често у проучавању механике течности.

Значај димензионалне анализе у механици течности је због тога што је тешко успоставити једначине у одређеним токовима, као и потешкоће у њиховом решавању, због чега је немогуће постићи емпиријске односе. Из тог разлога, потребно је прибећи експерименталној методи.

Решене вежбе

Прва вежба

Пронађите једнаџбу димензија за брзину и убрзање.

Решење

Пошто је в = с / т, тачно је да је: = Л / Т = Л ∙ Т ^-1

Слично:

а = в / т

= Л / Т ² = Л ∙ Т ^-2

Друга вежба

Одредите димензиону једнаџбу за момент.

Решење

Пошто је замах производ масе и брзине, тачно је да је п = м ∙ в

Тако:

= М ∙ Л / Т = М ∙ Л ∙ Т ^-2

Референце

1. Димензионална анализа (нд). На Википедији. Преузето 19. маја 2018. са ес.википедиа.орг.
2. Димензионална анализа (нд). На Википедији. Преузето 19. маја 2018. са ен.википедиа.орг.
3. Лангхаар, ХЛ (1951), Димензионална анализа и теорија модела, Вилеи.
4. Фидалго Санцхез, Јосе Антонио (2005). Физика и хемија. Еверест
5. Давид Ц. Цассиди, Гералд Јамес Холтон, Флоид Јамес Рутхерфорд (2002). Разумевање физике. Биркхаусер.