КОЊУГИРАЈТЕ БИНОМ: КАКО ТО РЕШИТИ, ПРИМЕРИ, ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Коњугат бином друге Биномиал је онај у којима разликују само знак операције. Бином, као што му име каже, је алгебарска структура која се састоји од два појма.

Неки примери биномијала су: (а + б), (3м - н) и (5к - и). А њихови одговарајући коњуговани биноми су: (а - б), (-3м - н) и (5к + и). Као што се одмах види, разлика је у знаку.

Слика 1. Бином и његов коњугирани бином. Имају исте изразе, али се разликују по знаку. Извор: Ф. Запата.

Бином, помножен са својим коњугатом, резултира изванредним производом који се широко користи у алгебри и науци. Резултат множења је одузимање квадрата појмова изворног бинома.

На пример, (к - и) је бином, а његов коњугат је (к + и). Дакле, продукт два биномијала је разлика квадрата појмова:

(к - и). (к + и) = к ² - и ²

Како решите коњугирани бином?

Наведено правило коњугираних бинома је следеће:

Као пример примене, почећемо с демонстрирањем претходног резултата, што се може учинити коришћењем дистрибутивног својства производа у односу на алгебарску суму.

(к - и) (к + и) = кк + ки - ик - ии

Горње множење добијено је следећим корацима:

- Први појам првог бинома помножава се с првим изразом другог

- Онда прво од првог, за друго од другог

- Онда други од првог до првог од другог

- Коначно други од првог до другог од другог.

Сада направимо малу промену користећи својство комутације: ик = ки. То изгледа овако:

(к - и) (к + и) = кк + ки - ки - ии

Како постоје два једнака израза, али супротног знака (обојени и подвучени), они се поништавају и поједностављују се:

(к - и) (к + и) = кк - ии

Коначно, примењује се да је множење броја по себи еквивалентно квантитацији, тако да је кк = к ² и такође ии = и ² .

На овај начин се показује оно што је наведено у претходном одељку, да је зброј и његова разлика разлика квадрата:

(к - и). (к + и) = к ² - и ²

Слика 2. Збирна путања његове разлике је разлика квадрата. Извор: Ф. Запата.

Примери

- Коњугирани биноми различитих израза

Пример 1

Пронађите коњугат (и ² - 3и).

Одговор : (и ² + 3и)

Пример 2

Добијте производ (и ² - 3и) и његов коњугат.

Одговор: (и ² - 3и) (и ² + 3и) = (и ² ) ² - (3и) ² = и ⁴ - 3 ² и ² = и ⁴ - 9и ²

Пример 3

Развијте производ (1 + 2а). (2а -1).

Одговор: претходни израз је еквивалентан (2а + 1). (2а -1), то јест, одговара производу бинома и његовом коњугату.

Познато је да је продукт биномијала према његовом коњугираном биному једнак разлици квадрата појмова бинома:

(2а + 1) (2а -1) = (2а) ² - 1 ² = 4 а ² - 1

Пример 4

Производ напишите (к + и + з) (к - и - з) као разлику квадрата.

Одговор: Наведене триномиле можемо асимилирати у коњугирани биномни облик, пажљивим коришћењем заграда и квадратних заграда:

(к + и + з) (к - и - з) =

На овај начин се може примијенити разлика квадрата:

(к + и + з) (к - и - з) =. = к ² - (и + з) ²

Пример 5

Изражите производ (м ² - м -1). (М ² + м -1) као разлика квадрата.

Одговор : претходни израз је производ два триномила. Прво мора бити преписан као продукт два коњугована биномија:

(м ² - м -1) (м ² + м -1) = (м ² - 1 - м) (м ² -1 + м) =.

Примјењујемо чињеницу да је продукт бинома у односу на његов коњугат квадратна разлика његових појмова, као што је објашњено:

. = (м ² -1) ² - м ²

Вежбе

Као и увек, започните с најједноставнијим вежбама и затим повећавате ниво сложености.

- Вежба 1

Напишите (од 9 до ² ) као производ.

Решење

Прво преписујемо израз као разлику квадрата, како бисмо применили оно што је раније објашњено. Тако:

(9 - а ² ) = (3 ² - а ² )

Следи фактор, који је еквивалентан писању ове разлике у квадратима као производа, као што се захтева у изјави:

(9 - а ² ) = (3 ² - а ² ) = (3 + а) (3-а)

- Вежба 2

Фактор 16к ² - 9и ⁴ .

Решење

Факторинг израза значи писати га као производ. У овом случају, потребно је претходно написати израз, да би се добила разлика у квадратима.

То није тешко учинити, јер пажљиво гледајући, сви фактори су савршени квадрати. На пример 16 је квадрат 4, 9 је квадрат 3, а ⁴ је квадрат и ² и к ² је квадрат к:

16к ² - 9и ⁴ = 4 ² к ² - 3 ² и ⁴ = 4 ² к ² - 3 ² (и ² ) ²

Затим примењујемо оно што већ знамо раније: да је разлика квадрата производ коњугираних бинома:

(4к) ² - (3 и ² ) ² = (4к - 3 и ² ). (4к + 3 и ² )

- Вежба 3

Запишите (а - б) као продукт бинома

Решење

Горњу разлику треба записати као разлике квадрата

(√а) ² - (√б) ²

Тада се примењује да је разлика квадрата продукт коњугираних бинома

(√а - √б) (√а + √б)

- Вежба 4

Једна од употреба коњугираног бинома је рационализација алгебричних израза. Овај поступак се састоји од уклањања коријена називника фракцијског израза, што у многим случајевима олакшава операције. Од њега се тражи да се коњугирани бином користи за рационализацију следећег израза:

√ (2-к) /

Решење

Прво је идентификовање коњугираног биномала називника:.

Сада множимо бројник и називник оригиналног израза с коњугираним биномом:

√ (2-к) / {.}

У називнику претходног израза препознајемо продукт разлике према зброју, за који већ знамо да одговара квадратура бинома:

√ (2-к). / {(√3) ² - ² }

Поједностављење називника је:

√ (2-к). / = √ (2 к). / (1 - к)

Сада се бавимо бројилом, за које ћемо применити дистрибутивно својство производа у односу на збир:

√ (2-к). / (1 - к) = √ (6-3к) + √ / (1 - к)

У претходном изразу препознајемо продукт бином (2-к) по његовом коњугату, што је приметни производ једнак разлици квадрата. На овај начин се коначно добија рационализован и поједностављен израз:

/ (1 - к)

- Вежба 5

Развијте следећи производ користећи својства коњугацијског бинома:

.

Решење

4а ^{(2к + 6и)} - 9а ^{(2к - 6и)} = 4а ^(2к) .а ^(6и) - 9а ^(2к) .а ^(-6и) = .а ^(2к)

Пажљиви читалац ће приметити уобичајени фактор који је истакнут бојом.

Референце

1. Балдор, А. 1991. Алгебра. Редакција културне Венезолана СА
2. Гонзалез Ј. Коњугиране вежбе за бином. Опоравак од: ацадемиа.еду.
3. Професор математике Алек. Изузетни производи. Опоравак са иоутубе.цом.
4. Матх2ме. Коњугирани биноми / значајни производи. Опоравак са иоутубе.цом.
5. Коњугирани биномни производи. Опоравак од: лмс.цолбацхенлинеа.мк.
6. Витуал. Коњугирани биноми. Опоравак од: иоутубе.цом.