ЧЕТВЕРОСТРАНИ: ЕЛЕМЕНТИ, СВОЈСТВА, КЛАСИФИКАЦИЈА, ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Четвороугао је полигон са четири стране и четири темена. Његове супротне стране су оне које немају заједничке врхове, док су узастопне стране оне које имају заједничку вршку.

У четверокуту, суседни углови имају једну страну, док супротни углови немају заједничке стране. Друга важна карактеристика четверострана је да је збир његових четири унутрашња угла двоструко већи од угла равни, то јест радијуса 360º или 2π.

Слика 1. Разни четверострани. Извор: Ф. Запата.

Дијагонале су сегменти који се придружују врху са њеном супротном и у датом четверокуту може се из сваке врхове извући једна дијагонала. Укупни број дијагонала у четверокуту је два.

Четверострани су фигуре познате човечанству од давних времена. О томе сведоче археолошки записи, као и грађевине које преживе данас.

Исто тако, данас су четверокутници и даље важно у свакодневном животу свих. Читалац може овај образац пронаћи на екрану на којем тренутно чита текст, на прозорима, вратима, аутомобилским деловима и безброј других места.

Четверострана класификација

Према паралелизму супротних страна, четверострани су класификовани на следећи начин:

1. Трапез, када нема паралелизма, а четверострани је конвексан.
2. Трапез, када постоји паралелизам између једног пара супротних страна.
3. Паралелограм, када су његове супротне стране паралелне две по две.

Слика 2. Класификација и подкласификација четверострана. Извор: Викимедиа Цоммонс.

Врсте паралелограма

Заузврат, паралелограми се могу класификовати према њиховим угловима и њиховим странама на следећи начин:

1. Правокутник је паралелограм који има своја четири унутрашња угла једнаке мере. Унутрашњи углови правоугаоника формирају прави угао (90 °).
2. Квадрат је правоугаоник са четири стране једнаке мере.
3. Рхомбус је паралелограм са његове четири једнаке стране, али различитих суседних углова.
4. Ромбоид, паралелограм са различитим суседним угловима.

Трапез

Трапез је конвексни четверокут са две паралелне стране.

Слика 3. Подлоге, странице, висина и медијан трапеза. Извор: Викимедиа Цоммонс.

- У трапезу се паралелне стране називају базе, а паралелне стране називају бочне.

- Висина трапеза је удаљеност између двију база, то јест дужина сегмента са крајевима у основама и окомитим на њих. Овај сегмент се назива и висина трапеза.

- Медијан је сегмент који се спаја са средњим тачкама бочних. Може се показати да је средња средина паралелна са базама трапеза и да је његова дужина једнака полузиду база.

- Подручје трапеза је његова висина помножена са полу-збиром база:

Врсте трапеза

-Рецтангулар трапезоид : то је онај са стране нормалном на базама. Ова страна је такође висина трапеза.

-Изосцелес трапез : онај са страницама једнаке дужине. У једнакомерном трапезу углови поред базе су једнаки.

-Скалене трапезијум : онај са страницама различитих дужина. Његови супротни углови могу бити један акутан, а други замрачен, али може се догодити и да и једни и други буду оштри.

Слика 4. Врсте трапезија. Извор: Ф. Запата.

Паралелограм

Паралелограм је четверокутник чија су супротне стране паралелне две по две. У паралелограму су супротни углови једнаки, а суседни углови су допунски или, другачије речено, суседни углови додају до 180 °.

Ако паралелограм има прави угао, тада ће и сви други углови бити превише, а добијена фигура се назива правоугаоник. Али ако правоугаоник има и своје суседне стране исте дужине, тада су све његове стране једнаке и добијена фигура је квадрат.

Слика 5. Паралелограми. Правоугаоник, квадрат и ромб су паралелограми. Извор: Ф. Запата.

Када паралелограм има две суседне стране исте дужине, све његове стране ће бити исте дужине, а резултирајући лик је ромб.

Висина паралелограма је сегмент са крајевима на супротним странама и окомитим на њих.

Површина паралелограма

Површина паралелограма је продукт базе која је путања његове висине, а основа је страна окомита на висину (слика 6).

Дијагонале паралелограма

Квадрат дијагонале који почиње од врха једнак је зброју квадрата двеју страна поред наведене вертикале плус дуплог продукта тих страна према косинусу угла те верзије:

ф ² = а ² + д ² + 2 ад Цос (α)

Слика 6. Паралелограм. Насупротни углови, висина, дијагонала. Извор: Ф. Запата.

Квадрат дијагонале насупрот врха паралелограма једнак је зброју квадрата двеју страна поред наведене вертезе и одузимањем двоструког продукта тих страна косинусом угла те вертикале:

г ² = а ² + д ² - 2 ад Цос (α)

Закон паралелограма

У сваком паралелограма, збир квадрата своје стране једнак збиру квадрата дијагонала:

а ² + б ² + ц ² + д ² = ф ² + г ²

ре цтангуло

Правоугаоник је четвоространик са својим супротним странама паралелним две по две и који такође има прави угао. Другим речима, правоугаоник је врста паралелограма са правим углом. Пошто је паралелограм, правоугаоник има супротне стране једнаке дужине а = ц и б = д.

Али као и у сваком паралелограму, суседни углови су додатни углови једнаки и супротни, тако да у преосталом три угла у пољу има прави угао. Другим речима, у правоугаонику сви унутрашњи углови мере 90 ° или π / 2 радијана.

Дијагонале правоугаоника

Дијагонале у правоугаонику су једнаке дужине, као што ће бити приказано у наставку. Образложење је следеће; Правоугаоник је паралелограм са свим његовим правим угловима и зато наслеђује сва својства паралелограма, укључујући формулу која даје дужину дијагонала:

ф ² = а ² + д ² + 2 ад Цос (α)

г ² = а ² + д ² - 2 ад Цос (α)

са α = 90º

Пошто је Цос (90º) = 0, тада се дешава да:

ф ² = г ² = а ² + д ²

Тј. Ф = г, ф, г, и стога су дужине две дијагонале правоугаоника једнаке, а његова дужина је дана:

Надаље, ако се у правоугаонику са сусједним странама а и б једна страна узме као основа, друга страна ће бити висине и посљедично ће површина правоугаоника бити:

Површина правоугаоника = ос б.

Периметар је збир свих страна правоугаоника, али пошто су супротности једнаке, из тога произлази да је за правоугаоник са страницама а и б обод дат следећом формулом:

Периметар правоугаоника = 2 (а + б)

Слика 7. Правокутник са страницама а и б. Д и дијагонале Ф и г су једнаке дужине. Извор: Ф. Запата.

Квадрат

Квадрат је правоугаоника са сусједним странама исте дужине. Ако квадрат има страну а, тада су његове дијагонале ф и г исте дужине, што је ф = г = (√2) а.

Површина квадрата је његова квадратна страна:

Површина квадрата = а ²

Периметар квадрата двоструко је већи од стране:

Периметар квадрата = 4 а

Слика 8. Квадрат са страном а, означава његову површину, обод и дужину дијагонала. Извор: Ф. Запата ..

Дијамант

Ромб је паралелограм са сусједним странама једнаке дужине, али пошто су супротне стране једнаке у паралелограму, тада су све стране ромба једнаке дужине.

Дијагонале ромба су различите дужине, али се сијеку под правим углом.

Слика 9. Рхомбус са стране а, означава његову површину, обод и дужину дијагонала. Извор: Ф. Запата.

Примери

Пример 1

Покажите да у четвеространику (није укрштен) унутрашњи углови до 360 °.

Слика 10: Показано је како се збир углова четверокута износи до 360 °. Извор: Ф. Запата.

Разматра се четверострани АБЦД (види слику 10) и црта дијагонала БД. Формирају се два троугла АБД и БЦД. Збир унутрашњих углова троугла АБД је:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

А збир унутрашњих углова троугла БЦД је:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Додавањем две једначине добијемо:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Груписање:

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

Груписањем и преименовањем коначно се показује да:

α + β + δ + γ = 360º

Пример 2

Покажите да је средња вриједност трапеза паралелна с основама, а дужина је полузид база.

Слика 11. Медијан МН трапезија АБЦД. Извор: Ф. Запата.

Медијан трапеза је сегмент који се спаја са средњим тачкама његових страна, то јест са паралелним странама. У трапезоидном АБЦД приказаном на слици 11 медијан је МН.

Пошто је М средња тачка АД, а Н средња тачка БЦ, омјери АМ / АД и БН / БЦ су једнаки.

Односно, АМ је пропорционалан БН-у у једнаком односу као АД и БЦ, па су дати услови за примену Тхалесове (реципрочне) теореме, која каже следеће:

"Ако су пропорционални сегменти одређени у три или више линија исечених с два сегмента, онда су све те линије паралелне."

У нашем случају се закључује да су линије МН, АБ и ДЦ паралелне једна са другом, дакле:

"Медијана трапеза је паралелна са његовим основама."

Сада ће се примијенити Тхалесова теорема:

"Скуп паралела исечених са два или више секанта одређују пропорционалне сегменте."

У нашем случају АД = 2 АМ, АЦ = 2 АО, па је трокут ДАЦ сличан троуглу МАО, а самим тим и ДЦ = 2 МО.

Сличан аргумент нам омогућава да потврдимо да је ЦАБ слична ЦОН, где је ЦА = 2 ЦО и ЦБ = 2 ЦН. Одмах следи да је АБ = 2 ОН.

Укратко, АБ = 2 ОН и ДЦ = 2 МО. Дакле, при додавању имамо:

АБ + ДЦ = 2 ОН + 2 МО = 2 (МО + ОН) = 2 МН

Коначно се уклања МН:

МН = (АБ + ДЦ) / 2

И закључује се да медијан трапеза мери полу-зброј база, или другачије: средња мери зброј база, подељен са две.

Пример 3

Покажите да се у ромбу дијагонале сијеку под правим углом.

Слика 12. Рхомбус и демонстрација да се његове дијагонале пресецају под правим углом. Извор: Ф. Запата.

Табла на слици 12 показује потребну конструкцију. Прво се паралелограм АБЦД црта са АБ = БЦ, то јест ромбом. Дијагонале АЦ и ДБ одређују осам углова приказаних на слици.

Користећи теорему (аип) која каже да наизменични унутрашњи углови између паралела исечених секантом одређују једнаке углове, можемо установити следеће:

α ₁ = γ ₁ , α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ и δ2 = β2. (*)

С друге стране, будући да су суседне стране ромба једнаке дужине, одређују се четири изосцеле троугла:

ДАБ, БЦД, ЦДА и АБЦ

Сада се позива на теорему о троуглу (изосцеле) који каже да су углови у близини базе једнаке мере, из чега се закључује да:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ и α ₁ = γ2 (**)

Ако су односи (*) и (**) комбиновани, постиже се следећа једнакост углова:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ с једне стране и β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 с друге стране.

Подсећајући на теорему о једнаким троугловима који каже да су два троугла са истом страном између два једнака угла једнака, имамо:

АОД = АОБ, а самим тим и углови ∡АОД = ∡АОБ.

Тада је ОДАОД + ∡АОБ = 180º, али пошто су оба угла једнаке мере, имамо 2 ∡АОД = 180º што значи да је ∡АОД = 90º.

Односно, геометријски је показано да се дијагонале ромба пресијецају под правим углом.

Вежбе су решене

- Вежба 1

Покажите да су у правом трапезу неравни углови допунски.

Решење

Слика 13. Десни трапез. Извор: Ф. Запата.

Трапезни АБЦД је конструиран са базама АБ и ДЦ паралелно. Унутрашњи угао врха А је прави (мери 90 °), тако да имамо прави трапез.

Углови α и δ су унутрашњи углови између две паралеле АБ и ДЦ, дакле једнаки су, односно δ = α = 90º.

С друге стране, показало се да сума унутрашњих углова четверокута износи и до 360 °, односно:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Наведено води до:

β + δ = 180º

Потврђујући оно што се желело показати да су углови β и δ допунски.

- Вежба 2

Паралелограм АБЦД има АБ = 2 цм и АД = 1 цм, поред тога угао БАД је 30 °. Одредите површину овог паралелограма и дужину његове две дијагонале.

Решење

Подручје паралелограма је производ дужине његове основе и његове висине. У овом случају дужина сегмента б = АБ = 2 цм ће се узети као основа, друга страна има дужину а = АД = 1 цм, а висина х ће се израчунати на следећи начин:

х = АД * Сен (30º) = 1 цм * (1/2) = ½ цм.

Дакле: површина = б * х = 2 цм * ½ цм = 1 цм ² .

Референце

1. ЦЕА (2003). Елементи геометрије: са вежбама и компасом. Универзитет у Меделину.
2. Цампос, Ф., Церецедо, ФЈ (2014). Математика 2. Групо Редакција Патриа.
3. Фреед, К. (2007). Откријте полигоне. Бенцхмарк Едуцатион Цомпани.
4. Хендрик, В. (2013). Генерализовани полигони. Биркхаусер.
5. ИГЕР. (сф) Математика први семестар Тацана. ИГЕР.
6. Јр. геометри (2014). Полигони. Лулу Пресс, Инц.
7. Миллер, Хеерен и Хорнсби. (2006). Математика: Образложење и апликације (десето издање). Пеарсон Едуцатион.
8. Патино, М. (2006). Математика 5. Уреднички зборник.
9. Википедиа. Четверострани. Опоравак од: ес.википедиа.цом