ЕЛИПСОИД: КАРАКТЕРИСТИКЕ И ПРИМЕРИ - АРТЕ - 2025

Еллипсоид је површина у простору који припада групи површинама и чији Општа једначина има облик:

То је тродимензионални еквивалент елипсе, за који је карактеристично да у неким посебним случајевима имају елиптичне и кружне трагове. Трагови су кривине добијене пресечањем елипсоида са равнином.

Слика 1. Три различита елипсоида: на врху сфера у којој су три полуоси једнаке, на дну лево сфероид, са две једнаке полу-осе и другачијом, и на крају у дну, троосни сфероид, са три различите осе дужина. Извор: Викимедиа Цоммонс. Аг2гаех / ЦЦ БИ-СА (хттпс://цреативецоммонс.орг/лиценсес/би-са/4.0)

Поред елипсоида, постоји још пет квадриката: једнослојни и двостепени хиперболоид, две врсте параболоида (хиперболички и елиптични) и елиптични конус. Његови трагови су такође конусни.

Елипсоид се такође може изразити стандардном једначином у картезијанским координатама. Елипсоид центриран у пореклу (0,0,0) и изражен на овај начин подсећа на елипсу, али са додатним изразом:

Вредности а, б и ц су реални бројеви већи од 0 и представљају три полуосовине елипсоида.

Карактеристике елипсоида

- Стандардна једначина

Стандардна једначина у картезијанским координатама за елипсу центрирану у тачки (х, к, м) је:

- Параметријске једначине елипсоида

У сферним координатама елипсоид се може описати на следећи начин:

к = син θ. цос φ

и = б син θ. сен φ

з = ц цос θ

Полоси елипсоида остају а, б и ц, док су параметри углови θ и φ следеће слике:

Слика 2. Сферни координатни систем. Елипсоид се може параметризовати користећи приказане углове тхета и пхи као параметре. Извор: Викимедиа Цоммонс. Андеггс / Публиц домаин.

- Трагови елипсоида

Општа једначина површине у простору је Ф (к, и, з) = 0, а трагови површине су криве:

- к = ц; Ф (ц, и, з) = 0

- и = ц; Ф (к, ц, з) = 0

- з = ц; Ф (к, и, ц) = 0

У случају елипсоида, такве криве су елипсе, а понекад и кругови.

- Волумен

Запремина В елипсоида је дана (4/3) π више од продукције његове три полуосовине:

В = (4/3) π. абц

Посебни случајеви елипсоида

-Елипсоид постаје сфера када су све полуоси исте величине: а = б = ц = 0. То има смисла, јер је елипсоид сличан сфери која се различито протеже дуж сваке ос.

-Схероид је елипсоид у којем су две полуоси идентичне, а трећа другачија, на пример, могла би бити а = б = ц.

Сфероид се назива и елипсоид обртаја, јер се може генерисати ротирањем елипсе око осе.

Ако се ос ротације подудара са главном осовином, сфероид је пролат, али ако се поклапа са мањом осе, је облатно:

Слика 3. Обликујте сфероид са леве стране и ширите сфероид са десне стране. Извор: Викимедиа Цоммонс.

Мера спљоштености сфероида (елиптичност) је дата разликом дужине две полуосовине, изражене у фракционом облику, односно то је јединица спљоштености, дана са:

ф = (а - б) / а

У овој једначини, а представља полу-главну осовину, а б пол-минор оса, имајте на уму да је трећа осовина једнака једној од ова за сфероид. Вредност ф је између 0 и 1, а за сфероид мора бити већа од 0 (да је једнака 0, једноставно бисмо имали сферу).

Референтни елипсоид

Планете и звезде уопште нису савршене сфере, јер ротационо кретање око њихових осе осе поравнава тело на половима и испупчује га на екватору.

Зато се чини да је Земља налик на облатни сфероид, мада не тако претјеран као онај на претходној слици, а са своје стране гасни гигант Сатурн је најпливнији од планета Сунчевог система.

Дакле, реалнији начин представљања планета је претпоставити да су попут сфероидног или елипсоидног обртаја, чија је полу-главна осовина екваторијални радијус, а полу-минор оса поларни радијус.

Пажљива мерења извршена на планети омогућила су изградњу референтног елипсоида Земље као најпрецизнији начин да се он математички обради.

Звезде такође имају ротационе покрете који им дају више или мање спљоштене облике. Брза звезда Ахернар, осма најсјајнија звезда на ноћном небу, у јужном сазвежђу Ериданус је невероватно елиптична у поређењу са већином. Од нас је 144 светлосна година.

У другој крајности, пре неколико година научници су пронашли најсферичнији предмет икада пронађен: звезда Кеплер 11145123, удаљена 5000 светлосних година, двоструко више од нашег Сунца и разлика између полуосовина од само 3 км. Као што се очекивало, такође се врти спорије.

Што се тиче Земље, она није савршен сфероид ни због своје храпаве површине и због локалних варијација гравитације. Из тог разлога, на располагању је више од једног референтног сфероида и на сваком месту је одабрано најприкладније за локалну географију.

Помоћ сателита је непроцјењива у стварању све прецизнијих модела облика Земље, захваљујући њима се, на примјер, зна да је јужни пол ближи екватору него сјеверни.

Слика 4. Хаумеа, транснептунска патуљаста планета има елипсоидни облик. Извор: Викимедиа Цоммонс.

Нумерички пример

Услед ротације Земље ствара се центрифугална сила која јој даје облик дугуљастог елипсоида уместо сфере. Екваторијални радијус Земље познат је на 3963 миље, а поларни радијус 3942 миље.

Пронађите једнаџбу екваторијалног трага, елипсоида и меру његовог спљоштености. Упоредите такође са елиптичношћу Сатурна, са подацима датим у наставку:

Екваторијални радијус Сатурн: 60,268 км

-Поларни радијус Сатурна: 54.364 км

Решење

Потребан је систем координата, за који ћемо претпоставити да је усмерен на порекло (центар Земље). Претпоставимо да је вертикална ос з, а траг који одговара екватору лежи на равнини ки, што је еквивалентно равнини з = 0.

У екваторијалној равнини су полуоси а и б једнаке, дакле а = б = 3963 миље, док је ц = 3942 миље. Ово је посебан случај: сфероид центриран у тачки (0,0,0) као што је горе поменуто.

Екваторијални траг је круг полупречника Р = 3963 миље, центриран у пореклу. Израчунава се чинећи з = 0 у стандардној једначини:

А стандардна једначина земаљског елипсоида је:

ф _Земља = (а - б) / а = (3963-3942) миља / 3963 миља = 0.0053

ф _Сатурн = (60268-54363) км / 60268 км = 0,0980

Имајте на уму да је елиптичност ф бездимензијска величина.

Референце

1. АрцГИС за Десктоп. Сфероиди и сфере. Опоравак са: десктоп.арцгис.цом.
2. ББЦ Ворлд. Мистерија највише сферног предмета икада откривеног у Универзуму. Опоравак од: ббц.цом.
3. Ларсон, Р. Израчун и аналитичка геометрија. Шесто издање. Свезак 2. МцГрав Хилл.
4. Википедиа. Елипсоид. Опоравак од: ен.википедиа.орг.
5. Википедиа. Спхероид. Опоравак од: ен.википедиа.орг.