МАТЕМАТИЧКО ОЧЕКИВАЊЕ: ФОРМУЛА, СВОЈСТВА, ПРИМЕРИ, ВЕЖБА - ДУДАС - 2025

Математичко очекивање или очекивана вредност случајне променљиве Кс, означен као Е (Кс) и дефинише се као збир производа између вероватноће случајних догађаја насталих и вредности наведеног догађаја.

У математичком облику се изражава на следећи начин:

Слика 1. Математичко очекивање се широко користи на берзи и у осигурању. Извор: Пикабаи.

Где је к _и вредност догађаја и П (к _и ) његова вероватноћа да ће се догодити. Збир се протеже преко свих вредности које Кс признаје. А ако су коначне, назначена сума конвергира се вредности Е (Кс), али ако се зброј не конвертира, онда варијабла једноставно нема очекивану вредност.

Када је то непрекидна променљива к, променљива може имати бесконачне вредности и интеграли замењују збрајање:

Овде ф (к) представља функцију густине вероватноће.

Опћенито, математичко очекивање (које је пондерисани просјек) није једнако аритметичкој средњи или просјеку, осим ако се не бавимо дискретним расподјелама у којима је сваки догађај подједнако вјероватно. Тада и тек тада:

Где је н број могућих вредности.

Концепт је веома користан на финансијским тржиштима и осигуравајућим друштвима, где сигурно нема довољно, али вероватноће постоје.

Својства математичког очекивања

Међу најзначајнијим својствима математичког очекивања издвајају се следећа:

- Знак: ако је Кс позитиван, тада ће и Е (Кс) бити позитиван.

- Очекивана вредност константе : очекивана вредност реалне константе к је константа.

- Линеарност у збиру: очекивање случајне променљиве која је заузврат збир две променљиве Кс и И је збир очекивања.

Е (Кс + И) = Е (Кс) + Е (И)

- множење са константом : ако је случајна променљива облика кКс, где је к константа (стварни број), она излази ван очекиване вредности.

- Очекивана вриједност производа и неовисност између варијабли : ако је случајна варијабла производ случајних варијабли Кс и И, које су неовисне, тада је очекивана вриједност производа производ очекиваних вриједности.

Уопште, ако је И = г (Кс):

- Наручите у очекиваној вредности: ако је Кс ≤ И, тада:

Будући да постоје очекиване вредности сваког од њих.

Математичко очекивање у клађењу

Када познати астроном Цхристиан Хуигенс (1629-1695) није посматрао небо, посветио се проучавању, између осталих дисциплина, вероватноћа у играма на срећу. Управо је он увео концепт математичке наде у свом раду из 1656. године под називом: Размишљање о играма на срећу.

Слика 2. Цхристиаан Хуигенс (1629-1625) био је сјајан и свестран научник коме дугујемо концепт очекиване вредности.

Хуигенс је установио да се опкладе могу класификовати на три начина, на основу очекиване вредности:

-Игре са предности: Е (Кс)> 0

- Поштене опкладе: Е (Кс) = 0

-Игра у недостатку: Е (Кс) <0

Проблем је што у игри на срећу математичко очекивање није увек лако израчунати. А кад можете, резултат је понекад разочаравајући за оне који се питају да ли се кладе или не.

Покушајмо с једноставном опкладом: главе или репови и губитник плаћа кафу од једног долара. Која је очекивана вредност ове опкладе?

Па, вероватноћа да се главе окрећу је ½, једнака је реповима. Насумична варијабла је да добијете $ 1 или изгубите $ 1, добитак се означава знаком +, а губитак знаком -.

Информације организујемо у табели:

Помножимо вредности стубова: 1. ½ = ½ и (-1). ½ = -½ и на крају се додају резултати. Зброј је 0 и то је фер игра у којој се од учесника очекује да ни победе ни изгубе.

Француска рулет и лутрија су хендикеп игре у којима већина кладионица губи. Касније постоји нешто сложенија опклада у одељку са решеним вежбама.

Примери

Ево неколико једноставних примера где је концепт математичког очекивања интуитиван и појашњава појам:

Пример 1

Почећемо ролањем поштеног мртваца. Која је очекивана вредност лансирања? Па, ако је матрица искрена и има 6 глава, вероватноћа да ће се било која вредност (Кс = 1, 2, 3… 6) преврнути је 1/6, овако:

Е (Кс) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Слика 3. У роли поштеног мртваца, очекивана вредност није могућа вредност. Извор: Пикабаи.

Очекивана вредност у овом случају једнака је просеку, јер свако лице има исту вероватноћу да ће изаћи. Али Е (Кс) није могућа вредност, јер ниједна глава не вреди 3,5. Ово је сасвим могуће у неким дистрибуцијама, мада у овом случају резултат много не помаже кладионику.

Погледајмо још један пример са бацањем двеју новчића.

Пример 2

Два поштена новчића бацају се у ваздух и ми дефинишемо случајну променљиву Кс као број ваљаних глава. Догађаји који се могу догодити су следећи:

-Не дижу се главе: 0 глава што је једнако 2 репа.

-Излази 1 глава и 1 печат или репови.

Излазе два лица.

Нека је Ц глава, а Т печат, узорак простора који описује ове догађаје је следећи:

С _м = {Печат-Печат; Сеал-Фаце; Фаце-печат; Лице} = {ТТ, ТЦ, ЦТ, ЦЦ}

Вероватноће дешавања су:

П (Кс = 0) = П (Т). П (Т) = ½. ½ = ¼

П (Кс = 1) = П (ТЦ) + П (ЦТ) = П (Т). П (Ц) + П (Ц). П (Т) = ¼ + ¼ = ½

П (Кс = 2) = П (Ц). П (Ц) = ½. ½ = ¼

Табела је састављена са добијеним вредностима:

Према дефиницији датој на почетку, математичко очекивање се израчунава као:

Замјена вриједности:

Е (Кс) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Овај резултат се тумачи на следећи начин: ако особа има довољно времена за обављање великог броја експеримената премештањем двеју новчића, очекује се да добије главу на сваком боку.

Међутим, знамо да су издања са 2 етикете потпуно могућа.

Вежба решена

У бацању две поштене кованице ставља се следећа опклада: ако вам изађу 2 главе освојите 3 УСД, ако изађе 1 глава, освојите 1 УСД, али ако изађу две марке, морате платити 5 УСД. Израчунајте очекивани добитак опкладе.

Слика 4. У зависности од окладе, математичко очекивање се мења приликом бацања две поштене кованице. Извор: Пикабаи.

Решење

Насумична варијабла Кс је вредности које новац узима улог, а вероватноће су израчунате у претходном примеру, дакле табела опкладе је:

Е (Кс) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Како је очекивана вредност 0, то је фер игра, тако да се очекује да кладионичар не победи и да не изгуби ниједно. Међутим, износи улога могу се променити да би улога постала игра хендикепом или хендикепом.

Референце

1. Брасе, Ц. 2009. Разумљива статистика. Хоугхтон Миффлин.
2. Олмедо, Ф. Увод у концепт очекиване вредности или математичког очекивања случајне променљиве. Опоравак од: персонал.ус.ес.
3. Статистика ЛибреТектс. Очекивана вредност дискретних случајних варијабли. Опоравак од: статс.либретектс.орг.
4. Триола, М. 2010. Елементарна статистика. 11тх. Ед. Аддисон Веслеи.
5. Валполе, Р. 2007. Вероватноћа и статистика за науку и инжењерство. 8тх. Едитион. Пеарсон Едуцатион.