НАСУМИЧНИ ЕКСПЕРИМЕНТ: КОНЦЕПТ, УЗОРАК ПРОСТОРА, ПРИМЕРИ - ДУДАС - 2025

Говоримо о случајном експерименту када је резултат сваког одређеног испитивања непредвидив, иако се вероватноћа појаве одређеног резултата може утврдити.

Међутим, требало би разјаснити да није могуће репродуковати исти резултат случајног система са истим параметрима и почетним условима у сваком покусу експеримента.

Слика 1. Рола коцкица је случајни експеримент. Извор: Пикабаи.

Добар пример случајног експеримента је ваљање матрице. Чак и ако се води рачуна да се матрица заврти на исти начин, сваки покушај ће дати непредвидив резултат. Заправо, једино што се може рећи јесте да резултат може бити један од следећих: 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Бацање кованице је још један пример случајног експеримента са само два могућа исхода: главе или репова. Иако се новчић баца са исте висине и на исти начин, фактор шансе ће увек бити присутан, што резултира неизвесношћу при сваком новом покушају.

Супротност насумичном експерименту је детерминистички експеримент. На пример, познато је да сваки пут када вода прокуха на нивоу мора, температура кључања износи 100ºЦ. Али никада се не догоди да, уз исте услове, резултат понекад буде 90 ºЦ, други 12 0ºЦ, а понекад 100 ºЦ.

Узорак простора

Скуп свих могућих резултата случајног експеримента назива се простор узорка. У случајном експерименту котрљања матрице, простор узорка је:

Д = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Са друге стране, у бацању кованице примерак је:

М = {главе, репови}.

Догађај или појава

У насумичном експерименту догађај је појава или не одређени исход. На примјер, у случају окретања кованице, догађај или појава су да се појављују главе.

Други догађај у насумичном експерименту могао би бити следећи: да се број мањи од или једнак три ваља на коцку.

У случају да се догађај догоди, постављен је скуп могућих резултата:

Е = {1, 2, 3}

Заузврат, ово је подскуп простора узорка или скупа:

М = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Примери

Испод је неколико примера који илуструју горе наведено:

Пример 1

Претпоставимо да се две кованице бацају једна за другом. Пита се:

а) Наведите да ли је то случајни експеримент или, напротив, детерминирани експеримент.

б) Колики је простор узорка С овог експеримента?

ц) Наведите скуп догађаја А, одговара чињеници да експеримент резултира главама и реповима.

д) Израчунајте вероватноћу да ће се догодити догађај А.

е) На крају, пронађите вероватноћу да ће се догодити догађај Б: у резултату се не појављују главе.

Решење

Врећа садржи 10 белих мермера и 10 црних мермера. Три мрамора узастопно извлаче се из торбе насумично и без гледања унутра.

а) Одредите простор узорка за овај случајни експеримент.

б) Одредите скуп резултата који одговарају догађају А, који се састоји у томе да након експеримента постоје два црна мермера.

ц) Евент Б ће добити најмање два црна мермера, одредити скуп резултата Б за овај догађај.

д) Колика је вероватноћа да ће се догодити догађај А?

е) Пронађите вероватноћу да ће се догодити догађај Б.

ф) Одредите вероватноћу да је резултат насумичног експеримента да имате барем један црни мермер. Овај догађај ће се звати Ц.

Слика 2. Црни и бели мермери за насумичне експерименте. Извор: Неедпик.

Решење за

Да бисте конструисали простор узорка, корисно је направити дијаграм стабла, попут онога приказаног на слици 3:

Слика 3. Дијаграм стабла на пример 2. Припремила Фанни Запата.

Скуп Ω могућих резултата вађења три мермера из вреће са истим бројем црних и белих мермера, управо је простор узорка овог случајног експеримента.

Ω = {(б, б, б), (б, б, н), (б, н, б), (б, н, н), (н, б, б), (н, б, н) , (н, н, б), (н, н, н)}

Решење б

Скуп могућих исхода који одговара догађају А, а који се састоји од два црна мермера је:

А = {(б, н, н), (н, б, н), (н, н, б)}

Решење ц

Догађај Б је дефинисан као: „имати најмање два црна мермера након што су насумице извукли три“. Скуп могућих исхода догађаја Б је:

Б = {(б, н, н), (н, б, н), (н, н, б), (н, н, н)}

Решење д

Вероватноћа да ће се догодити А је квоцијент између броја могућих исхода за овај догађај и укупног броја могућих исхода, односно броја елемената у простору узорка.

П (А) = н (А) / н (Ω) = 3/8 = 0,375 = 37,5%

Дакле, постоји 37,5% вероватноће да ће имати два црна мермера након што насумично изваде три мермера из вреће. Али имајте на уму да ни на који начин не можемо да предвидимо тачан исход експеримента.

Решење е

Вероватноћа да ће се догодити догађај Б, која се састоји од добијања бар једног црног мермера, је:

П (Б) = н (Б) / н (Ω) = 4/8 = 0,5 = 50%

То значи да је могућност да се догађа Б догоди једнака вероватноћи да се он не догоди.

Решење ф

Вероватноћа да се добије најмање један црни мрамор, након што смо га нацртали три, једнака је 1 минус вероватноћи да ће резултат бити „три бела мермера“.

П (Ц) = 1 - П (ббб) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0,875 = 87,5%

Сада можемо да проверимо овај резултат, примећујући да је број могућности до којих се догодио догађај Ц једнак броју елемената могућих резултата за догађај Ц:

Ц = {(б, б, н), (б, н, б), (б, н, н), (н, б, б), (н, б, н), (н, н, б) , (н, н, н)}

н (Ц) = 7

П (Ц) = н (Ц) / н (Ω) = ⅞ = 87,5%

Референце

1. ЦаналПхи. Случајни експеримент. Опоравак од: иоутубе.цом.
2. МатеМовил. Случајни експеримент. Опоравак од: иоутубе.цом
3. Писхро Ницк Х. Увод у вероватноћу. Опоравак од: вероватноћа курса.цом
4. Росс. Вероватноћа и статистика за инжењере. Мц-Грав Хилл.
5. Википедиа. Експеримент (теорија вероватноће). Опоравак од: ен.википедиа.цом
6. Википедиа. Детерминистички догађај. Опоравак од: ес. википедиа.цом
7. Википедиа. Случајни експеримент. Опоравак од: ес.википедиа.цом