САРРУСОВО ПРАВИЛО: ОД ЧЕГА СЕ САСТОЈИ И ВРСТЕ ДЕТЕРМИНАНТИ - КУЛТУРНИ РЕЧНИК - 2025

Правило Саррус се користи за израчунавање резултат од 3 × 3 детерминанте. Користе се за решавање линеарних једначина и сазнају да ли су компатибилне.

Компатибилни системи олакшавају добијање решења. Они се такође користе за одређивање да ли су сектори вектора линеарно независни и да чине основу векторског простора.

Те се апликације заснивају на инвертибилности матрица. Ако је матрица правилна, њена одредница је различита од 0. Ако је једнина, њена одредница је једнака 0. Одреднице се могу израчунати само у квадратним матрицама.

Да би се израчунале матрице било ког реда, Лаплацеова теорема се може користити. Ова теорема омогућава нам да поједноставимо матрице великих димензија, у збирима малих одредница које декомпонујемо из главне матрице.

Наводи да је одредница матрице једнака збиру производа сваког реда или ступца, колико је пута већа од детерминанте његове придружене матрице.

Ово смањује детерминанте тако да одредница степена н постаје н одредница н-1. Ако ово правило применимо сукцесивно, можемо добити одреднице димензије 2 (2 × 2) или 3 (3 × 3), где је његово израчунавање много лакше.

Саррус руле

Пиерре Фредериц Саррус био је француски математичар из 19. века. Већина његових математичких трактата заснива се на методама решавања једначина и израчуна варијација, унутар нумеричких једначина.

У једном свом трактату решио је једну од најсложенијих загонетки из механике. Да би решио проблеме зглобних комада, Саррус је увео трансформацију алтернативних правоуганих покрета, у једноличне кружне покрете. Овај нови систем је познат као Саррус механизам.

Истраживање које је овом математичару дало највише славе било је у којем је он увео нову методу израчунавања детерминанти, у чланку "Ноувеллес метходес поур ла ресолутион дес екуатионс" (Нова метода за решавање једначина), који је објављен у године 1833. Овај начин решавања линеарних једначина познат је као Саррусово правило.

Саррусово правило омогућава израчунавање детерминанте матрице 3 × 3, без потребе да се користи Лаплацеова теорема, уводећи много једноставнију и интуитивнију методу. Да бисмо проверили вредност Саррусовог правила, узимамо било коју матрицу димензије 3:

Прорачун њене детерминанте извршио би се коришћењем производа његових главних дијагонала, одузимајући производ обрнутих дијагонала. То би било следеће:

Саррусово правило омогућава нам да добијемо много лакшу визију приликом израчуна дијагонале детерминанте. То би било поједностављено додавањем прва два ступца на полеђину матрице. На овај начин се јасније виде који су главни дијагонали а који су обрнути за прорачун производа.

Кроз ову слику можемо видети примену Саррусовог правила, укључујемо ред 1 и 2, испод графичког приказа почетне матрице. На овај начин, главне дијагонале су три дијагонале које се прво појављују.

Три обрнуте дијагонале заузврат су оне које се прво појављују позади.

На овај начин, дијагонале се појављују на визуелнији начин, без компликовања резолуције детерминанте, покушавајући да откријете који елементи матрице припадају свакој дијагонали.

Као што се види на слици, бирамо дијагонале и израчунавамо резултирајући производ сваке функције. Дијагонале које се појављују у плавој боји су оне које се сабирају. На збир ових, одузимамо вредност дијагонала које се појављују црвеном бојом.

Да бисмо компресију олакшали, можемо користити нумерички пример, уместо да користимо алгебарске изразе и подтерме.

Ако узмемо било коју матрицу 3 × 3, на пример:

Да бисмо применили Саррусово правило и решили га на визуелнији начин, требало би да укључимо ред 1 и 2, као ред 4 и 5. Важно је да ред 1 задржите на 4. месту, а ред 2. на 5. месту. Пошто их разменимо, Саррусово правило неће бити на снази.

Да би се израчунала одредница, наша матрица би била следећа:

Да наставимо с израчунавањем, помножићемо елементе главних дијагонала. Потомци који почињу са леве стране имаће позитиван предзнак; док обрнуте дијагонале, које полазе са десне стране, имају негативан предзнак.

У овом примеру, плави би имали позитиван знак, а црвени негативни. Коначно израчунавање Саррус правила изгледало би овако:

Врсте детерминанти

Одредница димензије 1

Ако је димензија матрице једнака, матрица изгледа овако: А = (а)

Стога би његова одредница била следећа: дет (А) = -А- = а

Укратко, одредница матрице А једнака је апсолутној вредности матрице А, која је у овом случају а.

Одредница димензије 2

Ако пређемо на матрице димензије 2, добићемо матрице типа:

Где је његова одредница дефинисана као:

Резолуција ове детерминанте заснива се на множењу њене главне дијагонале, одузимањем продукта њене обрнуте дијагонале.

Као мнемонични ми можемо користити следећи дијаграм да бисмо запамтили његову одредницу:

Одредница димензије 3

Ако је димензија матрице 3, резултирајућа матрица би била овог типа:

Одређивање ове матрице би се решило Саррусовом владавином на овај начин:

Референце

1. Јенни Оливе (1998) Матхс: А Студент'с Сурвивал Гуиде. Цамбридге Университи Пресс.
2. Рицхард Ј. Бровн (2012) Математика од 30 секунди: 50 најтежих теорија математике. Иви Пресс Лимитед.
3. Даве Киркби (2004) Матхс Цоннецт. Хеинеманн
4. Авол Ассен (2013) Студија о рачунању детерминанти матрице 3 × 3. Лап Ламберт Ацадемиц Публисхинг.
5. Антхони Ницолаидес (1994) Детерминанте и матрице. Пасс Публицатион.
6. Јессе Русселл (2012) Руле оф Саррус.
7. М. Цастелеиро Виллалба (2004) Увод у линеарну алгебру. Уређивање ЕСИЦ-а.