ОРТОНОРМАЛНА ОСНОВА: СВОЈСТВА, ПРИМЕРИ И ВЕЖБЕ - ФИЗИЧКИ - 2025

ОРТОНОРМИРАНА БАЗА обликује са векторима нормала међусобно и чија модул такође 1 (јединични вектори). Подсетимо се да је база Б у векторском простору В дефинисана као скуп линеарно независних вектора који могу да генеришу поменути простор.

Заузврат, векторски простор је апстрактни математички ентитет међу чијим су елементима вектори, углавном повезани са физичким величинама попут брзине, силе и помака или такође са матрицама, полиномима и функцијама.

Слика 1. Ортонормална база у равнини. Извор: Викимедиа Цоммонс. Куартл.

Вектори имају три карактеристична елемента: величину или модул, правац и смисао. Ортонормална основа је посебно корисна за представљање и руковање с њима, јер сваки вектор који припада одређеном векторском простору В може се записати као линеарна комбинација вектора који чине ортонормалну основу.

На овај начин се аналитички извршавају операције између вектора, као што су сабирање, одузимање и различите врсте производа дефинисаних у поменутом простору.

Међу најкоришћенијим основама у физици је основа формирана од јединица вектора и , ј и к која представљају три различита смера тродимензионалног простора: висина, ширина и дубина. Ови вектори су такође познати и као канонски вектори.

Ако се уместо тога вектори раде у равни, две од ове три компоненте би биле довољне, док је за једнодимензионалне векторе потребан само један.

Својства база

1- База Б је најмањи могући скуп вектора који генеришу векторски простор В.

2- Елементи Б су линеарно независни.

3- Било која база Б векторског простора В, омогућава да се изразе сви вектори В као линеарна комбинација истог и овај облик је јединствен за сваки вектор. Зато је Б познат и као систем генерисања.

4- Исти векторски простор В може имати различите базе.

Примери база

Ево неколико примера ортонормалних база и база уопште:

Канонска основа у ℜ

Назива натурал база или стандардна база ℜ ^н , где је ℜ ^н представља н-димензионални простор, на пример тродимензионалном простору је ℜ ³ . Вредност н назива се димензијом векторског простора и означава се као дим (В).

Сви вектори који припадају ℜ ^н представљени су нарученим н-огласима. За простор ℜ ^н , канонска основа је:

е ₁ = <1,0,. . . , 0>; е ₂ = <0,1,. . . , 0>; …… .. е _н = <0.0,. . . , 1>

У овом примеру смо користили нотацију заградама или „заградама“ и подебљали за векторе е ₁ , е ₂ , е ₃ …

Канонска основа у ℜ

Познати вектори и , ј и к признају то исто представљање и сва три су довољна да представљају векторе у ℜ ³ :

и = <1,0,0>; ј = <0,1,0>; к = <0,0,1>

То значи да се база може изразити овако:

Б = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

Да би се потврдило да су линеарно независни, одредница која се формира са њима је не-нула и такође је једнака 1:

Такође мора бити могуће уписати било који вектор који припада ℜ ³ као линеарну комбинацију истих. На пример, сила чија је правоугаона компонента Ф _к = 4 Н, Ф _и = -7 Н и Ф _з = 0 Н написала би се у векторском облику овако:

Ф = <4, -7,0> Н = 4 и -7 ј + 0 к Н.

Стога и , ј и к чине систем генератора ℜ ³ .

Остале ортонормалне базе у ℜ

Стандардна база описана у претходном одељку није једина ортонормална база у ℜ ³ . Овде имамо на пример основе:

Б ₁ = {; <- син θ, цос θ, 0>; <0,0,1>}

Б ₂ = {<3/5, 4 / 5.0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}

Може се показати да су ове базе ортонормалне, јер се сећамо услова које морају испунити:

-Вектори који чине базу морају бити правокутни једни према другима.

-Сваки од њих мора бити јединствен.

То можемо да потврдимо знајући да одредница коју они формирају мора бити једнака нули и једнака 1.

База Б ₁ је управо то цилиндричних координате ρ, φ и з, други начин изражавања векторе у простору.

Слика 2. Цилиндричне координате. Извор: Викимедиа Цоммонс. Матх буфф.

Решене вежбе

- Вежба 1

Покажите да је база Б = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>} је ортонормално.

Решење

Да бисмо показали да су вектори окомити један на други, користићемо скаларни производ, који се такође назива интерни или тачкасти продукт два вектора.

Нека било која два вектора у и в , њихов тачкасти производ је дефинисан са:

у • в = ув цосθ

Да бисмо разликовали векторе њихових модула, користићемо подебљано за прво, а за друго нормално слово. θ је угао између у и в, па ако су окомите, то значи да је θ = 90º, а скаларни производ једнак нули.

Алтернативно, ако су наведени вектори у смислу њихових компоненти: у =к, у _и , у _з > и в =к, в _и , в _з >, скаларни производ оба, који је комутативан, израчунава се на овај начин:

у • в = у _к .в _к + у _и .в _и + у _з .в _з

На овај начин, скаларни производи између сваког пара вектора су:

и) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ии) <3/5, 4 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

иии) <- 4/5, 3 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

За други услов израчунава се модул сваког вектора који се добија:

│у │ = √ (у _к ² + у _и ² + у _з ² )

Дакле, модули сваког вектора су:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Због тога су сва три вектора. Коначно, одредница коју формирају је не-нула и једнака је 1:

- Вежба 2

Напиши координате вектора в = <2, 3,1> у односу на базу изнад.

Решење

Да би се то постигло, користи се следећа теорема:

в = < в • в ₁ > в ₁ + < в • в ₂ > в ₂ + < в • в ₃ > в ₃ +… < в • в _н > в _н

То значи да вектор можемо написати у базу Б, користећи коефицијенте < в • в ₁ >, < в • в ₂ >,… < в • в _н >, за које морамо израчунати назначене скаларне производе:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1,0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1,0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

Са добијеним скаларним производима конструише се матрица која се назива в координатна матрица.

Стога су координате вектора в у бази Б изражене са:

_Б =

Координатна матрица није вектор, јер вектор није исти као његове координате. Ово су само скупови бројева који служе за изражавање вектора у датој бази, а не вектор као такав. Они такође зависе од одабране базе.

На крају, следећи теорему, вектор в би се изразио на следећи начин :

в = (18/5) в ₁ + (1/5) в ₂ + в ₃

Са: в ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; в ₂ = <- 4/5, 3 / 5.0>; в ₃ = <0,0,1>}, то јест вектори базе Б.

Референце

1. Ларсон, Р. Темељи линеарне алгебре. 6. Едитион. Ценгаге Леарнинг.
2. Ларсон, Р. 2006. Израчун. 7тх. Едитион. Свезак 2. МцГрав Хилл.
3. Салас, Ј. Линеарна алгебра. Јединица 10. Ортонормалне базе. Опоравак од: оцв.уц3м.ес.
4. Универзитет у Севиљи. Цилиндричне координате. Векторска база. Опоравак од: лаплаце.ус.ес.
5. Википедиа. Ортонормална база. Опоравак од: ес.википедиа.орг.