БЕСКОНАЧНИ СКУП: СВОЈСТВА, ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Бесконачан скуп разуме се као скуп у коме се број његових елемената не може рачунати. Односно, ма колико велики број његових елемената био, увек је могуће пронаћи више.

Најчешћи пример је бесконачан скуп природних бројева Н . Није важно колико је тај велики број, јер увек можете добити већи у процесу који нема краја:

Н = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………… ……………………}

Слика 1. Симбол бесконачности. (пикабаи)

Скуп звезда у свемиру је сигурно огроман, али није сигурно сигурно да ли је коначан или бесконачан. За разлику од броја планета у Сунчевом систему за које се зна да је коначни скуп.

Својства бесконачног скупа

Међу својствима бесконачних скупова можемо истаћи:

1- Спајање два бесконачна скупа рађа нови бесконачни скуп.

2- Спајање коначног скупа с бесконачним ствара нови бесконачни скуп.

3- Ако је подскуп одређеног скупа бесконачан, тада је и оригинални скуп бесконачан. Реципрочна изјава није тачна.

Не можете пронаћи природни број који може изразити кардиналност или број елемената бесконачног скупа. Међутим, немачки математичар Георг Цантор увео је концепт бесконачног броја да би се односио на бесконачни ординал већи од било којег природног броја.

Примери

Природни Н

Најчешћи пример бесконачног скупа је природни број. Природни бројеви су они који се користе за бројање, али читави бројеви који могу постојати нису могући.

Скуп природних бројева не укључује нулу и обично се означава као скуп Н , који се у опсежном облику изражава на следећи начин:

Н = {1, 2, 3, 4, 5,….} И очигледно је бесконачан скуп.

Елипса се користи да назначи да након једног броја следи други, а затим други у бесконачном или бесконачном процесу.

Скуп природних бројева придружен скупу који садржи број нула (0) познат је као скуп Н + .

Н + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ….} Који је резултат сједињења бесконачног скупа Н с коначним сетом О = {0}, што резултира бесконачним сетом Н + .

Цели бројеви З

Скуп целих бројева З састоји се од природних бројева, природних бројева с негативним предзнаком и нулом.

Цели бројеви З сматрају се еволуцијом у односу на природне бројеве Н који су изворно и примитивно коришћени у процесу бројања.

У нумеричком скупу З целих бројева укључена је нула да се не броји или изброји ништа, а негативни бројеви да се рачунају вађењем, губитком или недостатком нечега.

За илустрацију идеје, претпоставимо да се на банковном рачуну појављује негативан салдо. То значи да је рачун испод нуле и не само да је рачун празан, већ и да има недостајућу или негативну разлику, што некако мора бити замењено банци.

У широком облику бесконачни скуп З целих бројева пише овако:

З = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …… ..}

Рационалисти К

У еволуцији процеса бројања и размјене ствари, добара или услуга појављују се фракцијски или рационални бројеви.

На пример, приликом размене пола хлеба са две јабуке, током снимања трансакције некоме се десило да половину напише као подељену или подељену на два дела: ½. Али половина хлеба би се записала у књиге на следећи начин: ½ / ½ = ¼.

Јасно је да овај процес поделе у теорији може бити бескрајан, мада у пракси јесте све до последње честице хлеба.

Скуп рационалних (или фракцијских) бројева означава се на следећи начин:

К = {………, -3,…., -2,… .., -1, ……, 0,… .., 1, ……, 2,… .., 3, …… ..}

Елипса између два цела броја значи да између та два броја или вредности постоје бесконачне партиције или поделе. Зато се каже да је скуп рационалних бројева бескрајно густ. То је зато што без обзира колико два рационална броја могу бити једна другој, могу се пронаћи бесконачне вредности.

Да бисмо илустровали горе наведено, претпоставимо да од нас тражимо да пронађемо рационалан број између 2 и 3. Овај број може бити 2⅓, што је познато као мешовити број који се састоји од 2 цела дела плус трећине јединице, што је еквивалентно писању 4/3.

Између 2 и 2⅓ може се пронаћи друга вредност, на пример 2⅙. А између 2 и 2⅙ се може наћи и друга вредност, на пример 2⅛. Између ове двије друге, и између њих још једног, другог и другог.

Слика 2. Бесконачне поделе у рационалним бројевима. (викимедиа цоммонс)

Ирационални бројеви И

Постоје бројеви који се не могу написати као дељење или уломак два цела броја. Тај је нумерички скуп познат као скуп И ирационалних бројева и такође је бесконачан скуп.

Неки значајни елементи или представници овог нумеричког скупа су број пи (π), Еулеров број (е), златни однос или златни број (φ). Ови бројеви могу бити записани само отприлике рационалним бројем:

π = 3.1415926535897932384626433832795 …… (и наставља се у бесконачност и даље…)

е = 2.7182818284590452353602874713527 ……. (и наставља се даље од бесконачности…)

φ = 1.61803398874989484820 …… .. (до бесконачности… ..и изван… ..)

Остали ирационални бројеви се појављују када се покушавају наћи решења за врло једноставне једначине, на пример, једначина Кс ^ 2 = 2 нема тачно рационално решење. Тачно решење изражава се следећом симбологијом: Кс = √2, која се очитава к једнака корену две. Приближан рационални (или децимални) израз за √2 је:

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097.

Постоји безброј ирационалних бројева, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖) ако их набројимо.

Скуп реализације Р

Стварни бројеви су бројеви који се најчешће користе у математичком прорачуну, физици и инжењерству. Овај скуп броја је сједињење рационалних бројева К и ирационалних бројева И :

Р = К У И

Бесконачност већа од бесконачности

Међу бесконачним скуповима неки су већи и од других. На пример, скуп природних бројева Н бесконачан али је подскуп целих бројева З која је бесконачна, тако бесконачан скуп З већи од бесконачним скупа Н .

Слично, скуп целих бројева З представља подскуп реалне бројеве Р , и због тога је скуп Р је "бесконачност" бесконачно скуп З .

Референце

1. Целеберрима. Примери бесконачних скупова. Опоравило од: целеберрима.цом
2. Фуентес, А. (2016). ОСНОВНА МАТХ. Увод у рачуницу. Лулу.цом.
3. Гаро, М. (2014). Математика: квадратне једначине: Како решити квадратну једначину. Марилу Гаро.
4. Хаеусслер, ЕФ и Паул, РС (2003). Математика за менаџмент и економију. Пеарсон Едуцатион.
5. Јименез, Ј., Родригуез, М., Естрада, Р. (2005). Математика 1 СЕП. Праг.
6. Прециадо, ЦТ (2005). Курс математике 3. разред Редакција Прогресо.
7. Роцк, НМ (2006). Алгебра И Еаси! Тако лако. Теам Роцк Пресс.
8. Сулливан, Ј. (2006). Алгебра и тригонометрија. Пеарсон Едуцатион.
9. Википедиа. Бесконачан сет. Опоравак од: ес.википедиа.цом