ЕУЛЕРОВА МЕТОДА: ЧЕМУ СЛУЖИ, ПРОЦЕДУРА И ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Метода Еулер је најосновнија и једноставне процедуре користе да пронађу нумеричке решења приближно до диференцијалне једначине у је првог реда, под условом да је почетна стање је познато.

Уобичајена диференцијална једначина (ОДЕ) је једначина која односи непознату функцију једне независне променљиве са њеним дериватима.

Сукцесивне апроксимације по Еулеровој методи. Извор: Олег Александров

Ако је највећи дериват који се појављује у једначини степена један, онда је то једна обична диференцијална једначина првог степена.

Најопштији начин за писање једначине првог степена је:

к = к ₀

и = и ₀

Шта је Еулерова метода?

Идеја Еулерове методе је пронаћи нумеричко решење диференцијалне једначине у интервалу између Кс ₀ и Кс _ф .

Прво, интервал се дискретира у н + 1 бод:

к ₀ , к ₁ , к ₂ , к ₃ …, к _н

Који се добијају овако:
к _и = к ₀ + их

Где је ширина или корак подинвавала:

Уз почетно стање, тада је такође могуће знати дериват на почетку:

и '(к _о ) = ф (к _о , и _о )

Овај дериват представља нагиб тангенцијалне линије до кривуље функције и (к) тачно у тачки:

Ао = (к _о , и _о )

Тада се предвиђа приближно предвиђање вредности функције и (к) у следећој тачки:

и (к ₁ ) ≈ и ₁

и _{1 =} и _о + (к ₁ - к _о ) ф (к _о , и _о ) = и _{о +} хф (к _о , и _о )

Затим је добијена следећа приближна тачка решења, која би одговарала:

А ₁ = (к ₁ , и ₁ )

Поступак се понавља како би се добили узастопни бодови

А ₂ , А ₃ …, к _н

На слици приказаној на почетку плава кривуља представља тачно решење диференцијалне једначине, а црвена представља сукцесивне приближне тачке добијене Еулеровим поступком.

Решене вежбе

Вежба 1

И ) Нека је диференцијална једначина:

Са почетним условом к = а = 0; и _а = 1

Користећи Еулерову методу, пронађите приближно решење од и на координати Кс = б = 0,5, подељивши интервал на н = 5 делова.

Решење

Бројчани резултати сумирани су на следећи начин:

Из чега се закључује да је решење И за вредност 0,5 1,4481.

Напомена: За обављање израчуна коришћен је бесплатни програм Сматх Студио, бесплатног програма.

Вежба 2

ИИ ) Настављајући диференцијалну једначину из вежбе И), пронађите тачно решење и упоредите га са резултатом добијеним Еулеровом методом. Пронађите грешку или разлику између тачног и приближног резултата.

Решење

Тачно решење није веома тешко пронаћи. Дериват функције син (к) је позната као функција цос (к). Стога ће решење и (к) бити:

и (к) = син к + Ц

Да би се испунио почетни услов и (0) = 1, константа Ц мора бити једнака 1. Тачан резултат се тада упоређује са приближним:

Закључено је да у прорачунатом интервалу апроксимација има три значајне бројке прецизности.

Вежба 3

ИИИ ) Размотримо диференцијалну једначину и њене почетне услове дате у наставку:

и '(к) = - и ²

Са почетним условом к ₀ = 0; и ₀ = 1

Помоћу Еулерове методе да бисте пронашли приближне вредности решења и (к) на интервалу к =. Користите корак х = 0,1.

Решење

Еулерова метода је веома погодна за употребу са табелом. У овом случају користићемо прорачунску табелу Геогебра, бесплатни програм отвореног кода.

Табела на слици приказује три колоне (А, Б, Ц): прва је променљива к, друга колона представља променљиву и, а трећа колона је дериват и '.

Ред 2 садржи почетне вредности Кс, И, И '.

Корак вредности 0,1 постављен је у ћелију апсолутне позиције ($ Д $ 4).

Почетна вредност и0 је у ћелији Б2, а и1 је у ћелији Б3. За израчунавање и ₁ користи се формула:

и _{1 =} и _о + (к ₁ - к _о ) ф (к _о , и _о ) = и _{о +} хф (к _о , и _о )

Формула ове табеле би била Број Б3: = Б2 + $ Д $ 4 * Ц3.

Слично би и2 био у ћелији Б4, а његова формула је приказана на следећој слици:

На слици је такође приказан граф тачног решења и тачке А, Б, …, П приближног решења по Еулеровој методи.

Њутонова динамика и Еулерова метода

Класичну динамику развио је Исаац Невтон (1643 - 1727). Првобитна мотивација Леонарда Еулера (1707 - 1783) да развије своју методу била је управо решавање једнаџби другог закона Њутона у различитим физичким ситуацијама.

Њутнов други закон се обично изражава као диференцијална једначина другог степена:

Где к представља положај објекта у тренутку т. Споменути објект има масу м и подвргнут је сили Ф. Функција ф је повезана са силом и масом, као што следи:

За примјену Еулерове методе потребне су почетне вриједности времена т, брзине в и положаја к.

Следећа табела објашњава како почевши од почетних вредности т1, в1, к1 може се добити апроксимација брзине в2 и положаја к2, у тренутку т2 = т1 + Δт, где Δт представља мало повећање и одговара кораку у методи Еулер.

Вежба 4

ИВ ) Један од основних проблема механике је блок масе М везан уз опругу (или опругу) еластичне константе К.

Њутнов други закон за овај проблем би изгледао овако:

У овом примеру, ради једноставности узећемо М = 1 и К = 1. Пронађите приближна решења за позицију к и брзину в по Еулеровој методи на временски интервал тако што поделите интервал на 12 делова.

Узмите 0 као почетни тренутак, почетну брзину 0 и почетни положај 1.

Решење

Бројчани резултати приказани су у следећој табели:

Приказани су и графикони положаја и брзине између времена 0 и 1,44.

Предложене вежбе за дом

Вежба 1

Употријебите прорачунску таблицу за одређивање приближног рјешења помоћу Еулерове методе за диференцијалну једначину:

и '= - Екп (-и) са почетним условима к = 0, и = -1 у интервалу к =

Започните с кораком од 0,1. Нађите резултат.

Вежба 2

Помоћу табеле пронађите нумеричка решења за следећу квадратну једначину, где је и функција независне променљиве т.

и '' = - 1 / и² са почетним условом т = 0; и (0) = 0,5; и '(0) = 0

Нађите решење у интервалу користећи корак 0,05.

Подесите резултат: и вс т; и вс т

Референце

1. Еурлерова метода Преузета са википедиа.орг
2. Еулер солвер. Преузето са ен.сматх.цом