ШТА СУ КОСИ ТРОУГЛОВИ? (СА ВЕЖБАМА) - МАТХС - 2025

У Обликуе троуглови су они троуглови који нису правоугаоника. Другим речима, троуглови су такви да ниједан од њихових углова није прави угао (њихова мера је 90 °).

Пошто немају прави угао, питагорејска теорема се не може применити на ове троуглове.

Стога је за познавање података у косом троуглу неопходно користити друге формуле.

Формуле потребне за решавање косог троугла су такозвани закони синуса и косинуса, који ће бити описани касније.

Поред ових закона, увек се може користити и чињеница да је збир унутрашњих углова троугла једнак 180 °.

Обликуе Тригонлес

Као што је речено на почетку, коси троугао је троугао такав да ниједан од његових углова не мери 90 °.

Проблем проналажења дужина страна косог троугла, као и проналажења мера његових углова, назива се „решавање косих троуглова“.

Важна чињеница код рада са троуглом је да је збир три унутрашња угла троугла једнак 180 °. Ово је општи резултат, па се и за укошене троуглове може применити.

Закони синуса и косинуса

С обзиром на троугао АБЦ са страницама дужина „а“, „б“ и „ц“:

- Закон синуса каже да је а / син (А) = б / син (Б) = ц / син (Ц), где су А, Б и Ц супротни углови у односу на «а», «б» и «ц "Редом.

- Закон косинуса каже да: ц² = а² + б² - 2аб * цос (Ц). Еквивалентно, могу се користити следеће формуле:

б² = а² + ц² - 2ац * цос (Б) или а² = б² + ц² - 2бц * цос (А).

Помоћу ових формула може се израчунати податак за коси трокут.

Вежбе

Испод су неке вјежбе у којима се морају пронаћи недостајући подаци датих троуглова, на основу одређених података.

Прва вежба

Дајући троугао АБЦ такав да је А = 45º, Б = 60º и а = 12цм, израчунајте остале податке троугла.

Решење

Користећи то да је збир унутрашњих углова троугла једнак 180º

Ц = 180º-45º-60º = 75º.

Три угла су већ позната. Закон синуа се затим користи за израчунавање две нестале стране.

Једнаџбе које настају су 12 / син (45º) = б / син (60º) = ц / син (75º).

Из прве једнакости можемо решити за «б» и добити је

б = 12 * син (60º) / грех (45º) = 6√6 ≈ 14.696цм.

Такође се можемо решити за «ц» и то добити

ц = 12 * син (75º) / грех (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16.392цм.

Друга вежба

Дајући троугао АБЦ такав да је А = 60º, Ц = 75º и б = 10цм, израчунајте остале податке троугла.

Решење

Као и у претходној вежби, Б = 180º-60º-75º = 45º. Надаље, користећи закон синуса, имамо да је а / син (60º) = 10 / син (45º) = ц / син (75º), из чега се добија да је а = 10 * син (60º) / син (45º) = 5√6 ≈ 12.247 цм и ц = 10 * син (75º) / син (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13.660 цм.

Трећа вежба

Дајући троугао АБЦ такав да је а = 10цм, б = 15цм и Ц = 80º, израчунајте остале податке троугла.

Решење

У овој вежби је познат само један угао, па се не може покренути као у претходне две вежбе. Такође, закон синуса не може се применити јер ниједна једначина не може бити решена.

Стога настављамо са примјеном закона косинуса. То је онда то

ц² = 10² + 15² - 2 (10) (15) цос (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 цм,

тако да ц ≈ 16,51 цм. Сада, познавајући три стране, користи се закон синуса и добије се то

10 / грех (А) = 15 / син (Б) = 16,51цм / грех (80º).

Дакле, решавање за Б резултира сином (Б) = 15 * син (80º) / 16.51 ≈ 0.894, што имплицира да је Б ≈ 63.38º.

Сада можемо добити да је А = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Четврта вежба

Бочне стране троугластог троугла су а = 5цм, б = 3цм и ц = 7цм. Пронађите углове троугла.

Решење

Поново, закон синусе не може се директно применити јер ниједна једначина не би служила за добијање вредности углова.

Користећи закон косинуса имамо да је ц² = а² + б² - 2аб цос (Ц), одакле при решавању имамо да је цос (Ц) = (а² + б² - ц²) / 2аб = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 и самим тим Ц = 120º.

Сада ако можемо применити закон греха и на тај начин добити 5 / син (А) = 3 / грех (Б) = 7 / грех (120º), одакле се можемо решити за Б и добити тај грех (Б) = 3 * син (120º) / 7 = 0,371, тако да је Б = 21,79º.

Коначно, последњи угао се израчунава користећи А = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

Референце

1. Ландаверде, Ф. д. (1997). Геометрија (Репринт ед.). Напредак.
2. Леаке, Д. (2006). Троугли (илустровано изд.). Хеинеманн-Раинтрее
3. Перез, ЦД (2006). Прекалкулација. Пеарсон Едуцатион.
4. Руиз, А. И Баррантес, Х. (2006). Геометриес. ЦР технологија.
5. Сулливан, М. (1997). Прекалкулација. Пеарсон Едуцатион.
6. Сулливан, М. (1997). Тригонометрија и аналитичка геометрија. Пеарсон Едуцатион.