У врсте интеграли које налазимо у математичкој су неодређени интеграли и дефинитивни интеграли. Иако дефинитивни интеграли имају много више примена од неодређених интеграла, потребно је прво научити како се решавају неодређени интеграли.
Једна од најатрактивнијих примена дефинитивних интеграла је израчунавање запремине круте чврстоће. Обе врсте интеграла имају иста својства линеарности и такође технике интеграције не зависе од врсте интеграла.
Солид оф Револутион
Али упркос томе што је веома слична, постоји једна главна разлика; у првом типу интеграла резултат је функција (која није специфична), док је у другом типу резултат број.
Основни типови интеграла
Свет интеграла је веома широк, али у њему можемо разликовати две основне врсте интеграла, које имају велику применљивост у свакодневном животу.
1- Неодређени интеграли
Ако је Ф '(к) = ф (к) за све к у домену ф, рекли бисмо да је Ф (к) антидерива, примитив или интеграл од ф (к).
Са друге стране, посматрајмо да је (Ф (к) + Ц) '= Ф' (к) = ф (к), што имплицира да интеграл функције није јединствен, јер давањем различитих вредности константи Ц добићемо различите антидерива.
Из тог разлога Ф (к) + Ц назива се неодређени интеграл ф (к), а Ц се назива константа интеграције и пишемо га на следећи начин
Неодређени Интеграл
Као што видимо, неодређени интеграл функције ф (к) је породица функција.
На пример, ако желите да пронађете неодређени интеграл функције ф (к) = 3к², прво морате пронаћи антидериватив ф (к).
Лако је видети да је Ф (к) = к³ антидериватив, пошто је Ф '(к) = 3к². Стога се може закључити да
∫ф (к) дк = ∫3к²дк = к³ + Ц.
2- Дефинитивни интеграли
Нека је и = ф (к) стварна, континуирана функција у затвореном интервалу и нека је Ф (к) антидериватив ф (к). Одређени интеграл ф (к) између граница а и б назива се бројем Ф (б) -Ф (а) и означава се на следећи начин
Темељни теорем калкулуса
Формула приказана горе је познатија као "Темељна теорема рачунања". Овде се "а" назива доња граница, а "б" назива горња граница. Као што видите, дефинитивни интеграл функције је број.
У том случају, ако се у интервалу израчуна дефинисани интеграл ф (к) = 3к², добиће се број.
Да би одредили овај број, изаберимо Ф (к) = к³ као антидериватив ф (к) = 3к². Затим израчунавамо Ф (3) -Ф (0) што нам даје резултат 27-0 = 27. Закључно, дефинисани интеграл ф (к) на интервалу је 27.
Може се приметити да ако је изабран Г (к) = к³ + 3, онда је Г (к) антидерива ф (к) различита од Ф (к), али то не утиче на резултат будући да је Г (3) -Г ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Из тог разлога се константа интеграције не појављује у одређеним интегралима.
Једна од најкориснијих примена ове врсте интеграла је та што нам омогућава да израчунамо површину (запремину) равнинске фигуре (чврстог обртаја), успостављајући одговарајуће функције и границе интеграције (и ос ротације).
Унутар дефинитивних интеграла можемо наћи различита проширења истог, попут линијских интеграла, површинских интеграла, неправилних интеграла, више интеграла, између осталог, а све то са врло корисним апликацијама у науци и инжењерству.
Референце
- Цастелеиро, ЈМ (2012). Да ли је лако интегрисати се? Приручник за самостално учење. Мадрид: ЕСИЦ.
- Цастелеиро, ЈМ, и Гомез-Алварез, РП (2002). Интегрално рачунање (Илустровано изд.). Мадрид: Уредништво ЕСИЦ-а.
- Флеминг, В., Варберг, ДЕ (1989). Прекалцулус Матхематицс. Прентице Халл ПТР.
- Флеминг, В., Варберг, ДЕ (1989). Прекалкулусна математика: приступ решавању проблема (2, Илустровано изд.). Мицхиган: Прентице Халл.
- Кисхан, Х. (2005). Интегрални рачун. Атлантиц Публисхерс и дистрибутери.
- Пурцелл, ЕЈ, Варберг, Д. и Ригдон, СЕ (2007). Израчун (Девето издање). Прентице Халл.