ЦЕНТРАЛНА СИМЕТРИЈА: СВОЈСТВА, ПРИМЕРИ И ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Две тачке А и А „имају централну симетрију у односу на тачку О када сегмент АА„ прође кроз њу и такође је средина АА “. Тачка О назива се центром симетрије.

Средишња симетричност троугла АБЦ у односу на тачку О је други троугао А'Б'Ц 'који има следеће карактеристике:

-Хомологни сегменти су једнаке дужине

- Њихови одговарајући углови имају исту меру.

Слика 1. Трокут АБЦ и његов симетрични А'Б'Ц '. Извор: Ф. Запата.

Слика 1 приказује троугао АБЦ (црвени) и његову централну симетрију А'Б'Ц '(зелена), у односу на центар симетрије О.

На тој истој слици пажљиви посматрач схватио би да се исти резултат постиже применом ротације првобитног троугла, све док је 180 ° и усредсређен је на О.

Стога је средишња симетрија једнака завоју од 180 ° у односу на средиште симетрије.

Својства централне симетрије

Централна симетрија има следећа својства:

-Средиште симетрије је средина сегмента који спаја тачку са својом симетријом.

-Симетрична тачка друге која се налази у центру симетрије подудара се са центром симетрије.

-Средњи симетрић троугла је конгруентни троугао (једнак) оригиналу.

-Слика централном симетријом кружнице је још један круг једнаког полупречника.

- Опсег има централну симетрију у односу на сопствено средиште.

Слика 2. Дизајн са централном симетријом. Извор: Пикабаи.

-Елипса има централну симетрију у односу на своје средиште.

-Сегменти имају централну симетрију у односу на своју средину.

-Правоустрани троугао нема централну симетрију у односу на његов центар, јер његова симетрија, иако је складна првој, даје ротирани једнакостранични троугао.

- Тргови имају централну симетрију у односу на њихов центар.

-Пентагону недостаје централна симетрија у односу на његово средиште.

-Регуларни полигони имају централну симетрију када имају парни број страна.

Примери

Критеријуми симетрије имају бројне примене у науци и инжењерству. Централна симетрија је присутна у природи, на пример, ледени кристали и паучине имају овакву симетрију.

Поред тога, многи проблеми се лако решавају када се искористи постојање централне симетрије и других врста симетрије. Због тога је погодно брзо препознати када се то догоди.

Слика 3. Ледени кристали имају централну симетрију. Извор: Пикабаи.

Пример 1

Дајући тачку П координата (а, б), морамо пронаћи координате његовог симетричног П 'у односу на исходиште О координата (0, 0).

Прво је конструисати тачку П ', за коју се црта линија која пролази кроз почетак О и кроз тачку П. Једначина ове линије је и = (б / а) к.

Назовимо сада (а ', б') координате симетричне тачке П '. Тачка П 'мора лежати на линији која пролази кроз О, па је истина: б' = (б / а) а '. Даље, растојање ОП мора бити једнако ОП ', што у аналитичкој форми пише овако:

√ (а ² + б ² ) = √ (а ' ² + б' ² )

Следеће је заменити б '= у претходном изразу и објединити обе стране једнакости да би се уклонио квадратни корен: (а ² + б ² ) =

Извлачењем заједничког фактора и поједностављењем добијамо да је а ' ² = а ² . Ова једначина има два реална решења: а '= + а или а' = -а.

Да бисмо добили б ', поново користимо б' = (б / а) а '. Ако је позитивно решење а 'супституисано, долазимо до тог б' = б. А када је негативно решење супституисано, тада је б '= -б.

Позитивно решење даје за П 'исту тачку П, па се одбацује. Негативно решење дефинитивно даје координате симетричне тачке:

П ': (-а, -б)

Пример 2

Потребно је показати да сегмент АБ и његов средишњи симетрични А'Б 'имају исту дужину.

Полазећи од координата тачке А, које су (Ак, Аи) и оних из тачке Б: (Бк, Би), дужина сегмента АБ је дана са:

д (АБ) = √ ((Бк - Ак) ² + (Би - Аи) ² )

Аналогно томе, симетрични сегмент А'Б 'ће имати дужину коју даје:

д (А'Б ') = √ ((Бк' - Ак ') ² + (Од' - Аи ') ² )

Координате симетричне тачке А 'су Ак' = -Ак и Аи '= -Аи. Слично онима Б 'су Бк' = -Бк и Би '= -Би. Ако су ове координате супституисане у једначини удаљености д (А'Б '), имамо:

д (А'Б ') = √ ((-Бк + Ак) ² + (-Би + Аи) ² ) што је еквивалентно:

√ ((Бк - Ак) ² + (Би - Аи) ² ) = д (АБ)

Тако се показује да оба сегмента имају исту дужину.

Решене вежбе

- Вежба 1

Покажите аналитички да је средишња симетрична О кружнице полупречника Р и средишта О исти изворни круг.

Решење

Једнаџба круга с полумјером Р и центром О (0,0) је:

к ² + и ² = Р ² (једнаџба обима Ц)

Ако се у свакој тачки П обима и координата (к, и) нађе њен симетрични П 'координата (к', и '), једначина симетричног обима је:

к ' ² + и' ² = Р ² (једначина симетричног круга Ц ')

Сада се позивамо на резултат примера 1, у коме се закључује да су координате тачке П ', симетричне за П и са координатама (а, б), (-а, -б).

Али у овој вежби тачка П има координате (к, и), па ће њен симетрични П 'имати координате к' = -ке и '= -и. Замјењујући ово у једначини симетричног круга имамо:

(-к) ² + (-и) ² = Р ²

Што је еквивалентно: к ² + и ² = Р ² , закључујући да је централна симетрична круга у односу на његовом центру је сама круг.

- Вежба 2

Покажите у геометријском облику да централна симетрија чува углове.

Решење

Слика 4. Изградња симетричних тачака за вежбу 2. Извор: Ф. Запата.

У равнини постоје три тачке А, Б и Ц. Његове симетрије А ', Б' и Ц 'конструисане су у односу на центар симетрије О, као што је приказано на слици 4.

Сада морамо показати да угао ∡АБЦ = β има исту меру као и угао ∡А'Б'Ц '= β'.

Пошто су Ц и Ц 'симетричне, тада је ОЦ = ОЦ'. Слично је ОБ = ОБ 'и ОА = ОА'. С друге стране, угао ∡БОЦ = ∡Б'ОЦ ', јер им је супротан од врха.

Стога су троуглови БОЦ и Б'ОЦ 'сукладни јер имају једнак угао између две једнаке стране.

Пошто је БОЦ сукладан Б'ОЦ ', тада су углови γ и γ' једнаки. Али ови углови, поред испуњавања γ = γ ', су унутрашње измене између линија БЦ и Б'Ц', што имплицира да је линија БЦ паралелна са Б'Ц '.

Слично томе, БОА је у складу са Б'ОА ', из чега следи да је α = α'. Али α и α 'су алтернативни унутрашњи углови између линија БА и Б'А', из чега се закључује да је линија БА паралелна са Б'А '.

Будући да угао ∡АБЦ = β има своје стране паралелне са углом ∡А'Б'Ц '= β', а оба су акутна, закључује се да:

∡АБЦ = ∡А'Б'Ц '= β = β'

Доказујући на тај начин да централна симетрија задржава меру углова.

Референце

1. Балдор, ЈА 1973. Геометрија летелица и свемира. Средњоамеричка културна.
2. Математички закони и формуле. Системи за мерење угла. Опоравак од: ингемецаница.цом.
3. Вентвортх, Г. Плане Геометри. Опоравак од: гутенберг.орг.
4. Википедиа. Централна симетрија. Опоравак од: ес.википедиа.цом
5. Википедиа. Транспортна трака. Опоравак од: ес.википедиа.цом
6. Запата Ф. Спојите унутрашње и спољашње углове. Опоравак од: лифедер.цом