КВАДРАТНИ НИЗИ: ПРИМЕРИ, ПРАВИЛА И РЕШЕНЕ ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Тхе Куадратиц сукцесија , у математичким терминима, састоји се од секвенце бројева који прате одређену правила аритметика. Занимљиво је знати ово правило да би се утврдио било који термин секвенце.

Један од начина за то је утврдити разлику између два узастопна термина и видети да ли се добијена вредност увек понавља. Када је то случај, каже се да је то редовна секвенца.

Низови бројева су начин организовања низова бројева. Извор: пикабаи.цом

Али ако се то не понови, покушајте да испитате разлику између разлика и видите да ли је та вредност константна. Ако је тако, онда је то квадратни низ .

Примери правилних низова и квадратних секвенци

Следећи примери помажу да се разјасни шта је до сада објашњено:

Пример редовног сукцесије

Нека је низ С = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Овај низ, означен са С, је бесконачан број бројева, у овом случају целих бројева.

Може се видети да је то редовна секвенца, јер се сваки израз добија додавањем 3 претходном термину или елементу:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Другим речима: ова секвенца је регуларна јер разлика између следећег и претходног даје фиксну вредност. У датом примеру ова вредност је 3.

Редовни низови који се добијају додавањем фиксне количине претходном термину такође се називају аритметичким прогресијама. А разлика - константна - између узастопних појмова назива се однос и означава се као Р.

Пример нередовног и квадратног низа

Погледајте следећи низ:

С = {2, 6, 12, 20, 30, ….

Када се израчунају сукцесивне разлике, добијају се следеће вредности:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Њихове разлике нису константне, па се може рећи да је то НЕ редовна секвенца.

Међутим, ако размотримо скуп разлика, имамо још један низ који ће бити означен као С _дифф :

С _диф = {4, 6, 8, 10,….}

Овај нови низ је заиста редован низ, јер се сваки појам добија додавањем фиксне вредности Р = 2 претходном. Зато можемо потврдити да је С квадратни низ.

Опште правило за конструкцију квадратног низа

Постоји општа формула за изградњу квадратне секвенце:

Т _н = А ∙ н ² + Б ∙ н + Ц

У овој формули, Т _н је термин на положају н секвенце. А, Б и Ц су фиксне вредности, док н варира једна за другом, то јест 1, 2, 3, 4, …

У низу С претходног примера А = 1, Б = 1 и Ц = 0. Одатле произлази да формула која генерише све изразе је: Т _н = н ² + н

Односно:

Т ₁ = 1 ² + 1 = 2

Т ₂ = 2 ² + 2 = 6

Т ₃ = 3 ² + 3 = 12

Т ₅ = 5 ² + 5 = 30

Т _н = н ² + н

Разлика између два узастопна термина квадратног низа

Т _{н + 1} - Т _н = -

Развијање израза кроз изванредан производ остаје:

Т _{н + 1} - Т _н = А ∙ н ² + А ∙ 2 ∙ н + А + Б ∙ н + Б + Ц - А ∙ н ² - Б ∙ н - Ц

Поједностављивањем, добијате:

Т _{н + 1} - Т _н = 2 ∙ А ∙ н + А + Б

Ово је формула која даје редослед разлика С _Диф која се може написати овако:

Диф _н = А ∙ (2н + 1) + Б

Ако је јасно, следећи термин је 2 ∙ Понекад претходни. Односно, однос редоследа разлика С _дифф је: Р = 2 ∙ А.

Решени проблеми квадратних низова

Вежба 1

Нека је низ С = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Утврдите да ли:

и) Да ли је то редовно или није

ии) да ли је то квадратно или не

иии) Била је квадратна, редослед разлика и њихов омјер

Одговори

и) Израчунајмо разлику између следећих и претходних израза:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Можемо потврдити да низ С није редован, јер разлика између сукцесивних израза није константна.

ии) Редослед разлика је правилан, јер је разлика између његових израза константна вредност 2. Дакле, оригинални низ С је квадратни.

иии) Већ смо утврдили да је С квадратна, редослед разлика је:

С _диф = {2, 4, 6, 8,…} и његов однос је Р = 2.

Вежба 2

Нека је низ С = {1, 3, 7, 13, 21, ……} из претходног примера, где је потврђено да је квадратни. Одреди:

и) Формула која одређује општи појам Т _н.

ии) Проверите трећи и пети термин.

иии) вредност десетог термина.

Одговори

и) Општа формула _Тн је А ∙ н ² + Б ∙ н + Ц. Тада остаје знати вредности А, Б и Ц.

Секвенција разлика има однос 2. Даље, за сваки квадратни низ је однос Р 2 2 А као што је приказано у претходним одељцима.

Р = 2 ∙ А = 2 што нас упућује на закључак да је А = 1.

Први израз у низу разлика С _Диф је 2 и мора задовољити А ∙ (2н + 1) + Б, с н = 1 и А = 1, то јест:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + Б

решавањем за Б добијамо: Б = -1

Тада је први израз С (н = 1) вредан 1, то јест: 1 = А ∙ 1 ² + Б ∙ 1 + Ц. Како већ знамо да су А = 1 и Б = -1, замењујући:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + Ц

Решавајући за Ц, добијамо његову вредност: Ц = 1.

Укратко:

А = 1, Б = -1 и Ц = 1

Тада ће н-ти термин бити Т _н = н ² - н + 1

ии) Трећи појам Т ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 и он је верификован. Пети Т ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21 који је такође проверен.

иии) Десети термин ће бити Т ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Вежба 3

Слијед подручја за вјежбу 3. Извор: властити елаборат.

На слици је приказан низ од пет слика. Решетка представља јединицу дужине.

и) Одредите редослед за подручје слика.

ии) Покажите да је то квадратни низ.

иии) Пронађите подручје на слици бр. 10 (није приказано).

Одговори

и) Секвенца С која одговара подручју низа слика је:

С = {0, 2, 6, 12, 20. . . . . }

ии) Секвенца која одговара узастопним разликама појмова С је:

С _разл = {2, 4, 6, 8 ,. . . . . }

Пошто разлика између узастопних израза није константна, тада С није редовна секвенца. Остаје нам знати да ли је квадратна, због чега опет радимо редослед разлика, добивајући:

{2, 2, 2, …….}

Пошто се сви термини секвенце понављају, потврђује се да је С квадратна секвенца.

иии) Секвенца С _диф је правилна и њен однос Р је 2. Користећи једнаџбу приказану изнад Р = 2 ∙ А, остаје:

2 = 2 ∙ А, што значи да је А = 1.

Други појам секвенце разлика С _Диф је 4, а девети појам С _Диф је

А ∙ (2н + 1) + Б.

Други појам има н = 2. Поред тога, већ је утврђено да је А = 1, тако да користећи претходну једначину и супституцију имамо:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + Б

Решавајући за Б, добијамо: Б = -1.

Познато је да други термин С вреди 2 и да мора да испуни формулу општег термина са н = 2:

Т _н = А ∙ н ² + Б ∙ н + Ц; н = 2; А = 1; Б = -1; Т ₂ = 2

Односно

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + Ц

Закључено је да је Ц = 0, то јест да формула која даје општи израз секвенце С износи:

Т _н = 1 ∙ н ² - 1 ∙ н +0 = н ² - н

Сада је проверен пети термин:

Т ₅ = 5 ² - 5 = 20

иии) Слика # 10, која овде није нацртана, имаће површину која одговара десетом термину у низу С:

Т ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Референце

1. хттпс://ввв.геогебра.орг