ТЕОРИЈА СКУПОВА: КАРАКТЕРИСТИКЕ, ЕЛЕМЕНТИ, ПРИМЕРИ, ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Теорија скуп је огранак математичке логике-која је одговорна за проучавање односа између ентитета називају комплета. За скупове је карактеристично да представљају колекције предмета исте природе. Споменути објекти су елементи скупа и могу бити: бројеви, слова, геометријске фигуре, речи које представљају предмете, сами предмети и други.

Георг Цантор је крајем 19. века предложио теорију скупова. Док су други угледни математичари у 20. веку извршили своју формализацију: Готтлоб Фреге, Ернст Зермело, Бертранд Русселл, Адолф Фраенкел између осталих.

Слика 1. Веннов дијаграм скупова А, Б и њихово пресечење А⋂ Б. (Властита разрада).

Веннови дијаграми су графички начин представљања скупа, а састоје се од затворене равни равни у којој су елементи скупа.

На пример, на слици 1 приказана су два скупа А и Б који имају елементе заједничке, елементе заједничке А и Б. Они формирају нови скуп који се зове пресеци скупа А и Б, а који је записан у облику симболички на следећи начин:

А ∩ Б

карактеристике

Скуп је примитивни концепт, јер је у геометрији концепт тачке, линије или равни. Нема бољег начина за изражавање концепта него навођењем примера:

Сет Е обликован бојама шпанске заставе. Овај начин изражавања скупа назива се разумевањем. Исти скуп Е написан екстензијом је:

Е = {црвено, жуто}

У овом случају, црвена и жута су елементи скупа Е. Треба имати на уму да су елементи наведени у заградама и да се не понављају. У случају шпанске заставе, постоје три обојене траке (црвена, жута, црвена), од којих се две понављају, али елементи се не понављају када се изрази целина.

Претпоставимо да сет В формиран од прва три самогласничка слова:

В = {а, е, и}

Скуп снаге В, означен са П (В), је скуп свих скупова који се могу формирати елементима В:

П (В) = {{а}, {е}, {и}, {а, е}, {а, и}, {е, и}, {а, е, и}}

Врсте комплета

Кончни сет

То је скуп у којем су њени елементи уочљиви. Примери коначних скупова су слова шпанске абецеде, шпански самогласници, планете Сунчевог система, између осталих. Број елемената у коначном скупу назива се његова кардиналност.

Бесконачан сет

За бесконачни скуп подразумева се да је број његових елемената неизбројан, јер без обзира колики је број његових елемената, увек је могуће пронаћи више елемената.

Пример бесконачног скупа је скуп природних бројева Н, који се у опсежном облику изражава на следећи начин:

Н = {1, 2, 3, 4, 5,….} Јасно је бесконачан скуп, јер без обзира колико велики природни број може бити, следећи највећи увек се може наћи у бескрајном процесу. Јасно је да је кардиналност бесконачног скупа ∞.

Празан сет

То је скуп који не садржи ниједан елемент. Празан скуп В означен је са Ø или паром кључева без елемената изнутра:

В = {} = Ø.

Празан скуп је јединствен, стога мора бити нетачно рећи „празан скуп“, исправан облик је рећи „празан скуп“.

Међу својствима празног скупа имамо да је подскуп било којег скупа:

Ø ⊂ А

Даље, ако је скуп подскуп празног скупа, тада ће нужно наведени скуп бити вакуум:

А ⊂ Ø ⇔ А = Ø

Унитар сет

Јединица је сваки скуп који садржи један елемент. На пример, скуп природних сателита Земље је унитарни скуп, чији је једини елемент Месец. Скуп Б целих бројева мањи од 2 и већи од нуле има само елемент 1, дакле то је јединица јединице.

Бинарни сет

Скуп је бинарни ако има само два елемента. На пример, скуп Кс, такав да је к решење реалног броја к ^ 2 = 2. Овај скуп екстензијом пише овако:

Кс = {-2, +2}

Универзални сет

Универзални скуп је скуп који садржи друге скупове исте врсте или природе. На пример, универзални скуп природних бројева је скуп реалних бројева. Али стварни бројеви су универзални скуп такође целих бројева и рационалних бројева.

Основне ставке

- Односи између сетова

У скупштини се могу успоставити различите врсте односа између њих и њихових елемената. Ако два скупа А и Б имају потпуно исте елементе између себе, успоставља се однос једнакости и означава се на следећи начин:

А = Б

Ако сви елементи скупа А припадају скупу Б, али сви елементи Б не припадају А, онда између тих скупова постоји однос укључивања који је означен овако:

А ⊂ Б, али Б ⊂ А

Горњи израз гласи: А је подскуп Б, али Б није подскуп А.

Да би назначили да неки елементи или елементи припадају скупу, користи се симбол припадности ∈, на пример да се каже да к елемент или елементи припадају скупу А, пише се симболично овако:

к ∈ А

Ако елемент не припада скупу А, однос се записује овако:

и ∈ А

Однос чланства постоји између елемената скупа и скупа, с изузетком скупа снаге, при чему скуп снаге представља колекцију или скуп свих могућих скупова који се могу формирати помоћу елемената наведеног скупа.

Претпоставимо да је В = {а, е, и}, његова снага је П (В) = {{а}, {е}, {и}, {а, е}, {а, и}, {е, и} , {а, е, и}}, у том случају скуп В постаје елемент скупа П (В) и може се написати:

В ∈ П (В)

- Својства инклузије

Прво својство инклузије утврђује да је сваки скуп садржан у себи, или другим речима, да је он сам подскуп:

А ⊂ А

Друго својство укључивања је транзитивност: ако је А подскуп Б, а Б заузврат подскуп Ц, онда је А подскуп Ц. У симболичком облику однос транзитивности пише на следећи начин:

(А ⊂ Б) ^ (Б ⊂ Ц) => А ⊂ Ц

Испод је Веннов дијаграм који одговара транзитивности инклузије:

Слика 2. (А ⊂ Б) ^ (Б ⊂ Ц) => А ⊂ Ц

- Операције између скупова

Раскрсница

Пресјек је операција између два низа која рађа нови скуп који припада истом универзалном скупу као и прва два. У том смислу, то је затворена операција.

Симболично је операција пресека формулисана овако:

А⋂Б = {к / к∈А ^ к∈Б}

Пример је следећи: скуп А слова у речи „елементи“ и скуп Б слова речи „поновљено“, пресек између А и Б пише се овако:

А⋂Б = {е, л, м, н, т, с} ⋂ {р, е, п, т, и, д, о, с} = {е, т, с}. Универзални скуп У, А, Б и такође А⋂Б је скуп слова шпанске абецеде.

унија

Уједињење два скупа је скуп који се састоји од елемената који су заједнички за два скупа и који нису заједнички елементи два скупа. Операција спајања између скупова изражена је симболично овако:

А∪Б = {к / к∈А вк∈Б}

Разлика

Операција разлике скупа А минус скупа Б означена је са АБ. АБ је нови скуп формиран од свих елемената који су у А и који не припадају Б. Симболично је написано овако:

А - Б = ​​{к / к ∈ А ^ к ∈ Б}

Слика 3. А - Б = ​​{к / к ∈ А ^ к ∈ Б}

Симетрична разлика

Симетрична разлика је операција између два скупа где је резултирајући скуп састављен од елемената који нису два скупа. Симетрична разлика је симболично представљена овако:

А⊕Б = {к / к∈ (АБ) ^ к∈ (БА)}

Примери

Пример 1

Веннов дијаграм је графички начин представљања скупова. На пример, скуп слова слова у скупу речи представљен је овако:

Пример 2

Венновим дијаграмима ниже је приказано да је низ самогласника у речи "сет" подскуп скупа слова у речи "сет".

Пример 3

Скуп Н слова шпанске абецеде је коначан скуп, овај скуп екстензијом пише овако:

Н = {а, б, ц, д, е, ф, г, х, и, ј, к, л, м, н, н, о, п, к, р, с, т, у, в, в , к, и, з} и његова кардиналност је 27.

Пример 4

Скуп В самогласника на шпанском је подскуп скупа Н:

В ⊂ Н је стога коначан скуп.

Коначни скуп В у опсежном облику пише овако: В = {а, е, и, о, у} и његова кардиналност је 5.

Пример 5

С обзиром на скупове А = {2, 4, 6, 8} и Б = {1, 2, 4, 7, 9}, одредите АБ и БА.

А - Б су елементи А који нису у Б:

А - Б = ​​{6, 8}

Б - А су елементи Б који нису у А:

Б - А = {1, 7, 9}

Решене вежбе

Вежба 1

Запишите у симболичном облику, а такође продужите скуп П од природних бројева мањих од 10.

Решење: П = {к∈ Н / к <10 ^ к мод 2 = 0}

П = {2, 4, 6, 8}

Вежба 2

Претпоставимо скуп А који је формиран од природних бројева који су фактори 210, и скуп Б који су формирани помоћу основних природних бројева мањи од 9. Одредите оба скупа и проширите и утврдите који је однос између два скупа.

Решење: Да бисмо одредили елементе скупа А, морамо почети проналажењем фактора природног броја 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Тада се пише скуп А:

А = {2, 3, 5, 7}

Сада сматрамо да је скуп Б, који је прајмер мањи од 9. 1 није примерен јер не задовољава дефиницију приме: "број је премоштен ако и само ако има тачно два дељивача, 1 и сам број." 2 су равномерна и истовремено су основна јер испуњавају дефиницију прашине, остали прајпови мањи од 9 су 3, 5 и 7. Дакле, скуп Б је:

Б = {2, 3, 5, 7}

Стога су два скупа једнака: А = Б.

Вежба 3

Одредите скуп чији су се елементи к разликовали од к.

Решење: Ц = {к / к = к}

Пошто је сваки елемент, број или објект једнак себи, скуп Ц не може бити другачији од празног скупа:

Ц = Ø

Вежба 4

Нека је низ Н природних бројева, а З скуп целих бројева. Одредите Н ⋂ З и Н ∪ З.

Решење:

Н ⋂ З = {к ∈ З / к ≤ 0} = (-∞, 0]

Н ∪ З = З јер је Н ⊂ З.

Референце

1. Гаро, М. (2014). Математика: квадратне једначине: Како решити квадратну једначину. Марилу Гаро.
2. Хаеусслер, ЕФ и Паул, РС (2003). Математика за менаџмент и економију. Пеарсон Едуцатион.
3. Јименез, Ј., Родригуез, М., Естрада, Р. (2005). Математика 1 СЕП. Праг.
4. Прециадо, ЦТ (2005). Курс математике 3. разред Редакција Прогресо.
5. Математика 10 (2018). „Примери коначних сетова“. Опоравак од: математицас10.нет
6. Википедиа. Теорија скупова. Опоравак од: ес.википедиа.цом