Бајесова теорема је процедура која нам омогућава да изрази условни вероватноћу случајног догађаја датом Б, у смислу расподеле вероватноће догађаја А и Б од расподеле вероватноће од само А.
Ова теорема је врло корисна, јер захваљујући њој можемо повезати вероватноћу да се догодио догађај А знајући да се Б догодио, са вероватноћом да се догоди супротно, односно да се Б појављује дан са А.
Баиесова теорема била је сребрни приједлог велечасног Тхомаса Баиеса, енглеског теолога из 18. вијека који је такође био математичар. Аутор је више радова из теологије, али данас је познат по неколико математичких трактата, међу којима се главни резултат истиче горе споменути Баиесов теорем.
Баиес се бавио овом теоремом у раду под насловом „Есеј о решавању проблема у доктрини шанси“, објављеном 1763. године, и о којем је развијен велики број. студије са апликацијама у разним областима знања.
Објашњење
Прво, за боље разумевање ове теореме неопходни су неки основни појмови теорије вероватноће, посебно теорема множења за условну вероватноћу, која каже да
За Е и А произвољне догађаје узорка простора С.
И дефиниција партиција, која нам говори да ако имамо А 1 , А 2 , …, А н догађаје узорка простора С, они ће формирати поделу С, ако су А и међусобно искључиви и ако је њихов савез С.
С обзиром на то, нека Б буде још један догађај. Тако Б можемо да видимо као
Где је А ја испресецан Б су међусобно искључују догађаја.
И последично,
Затим, примењујући теорему множења
Са друге стране, условна вероватноћа Аи датог Б је дефинисана са
Замјеном на одговарајући начин то имамо за било који и
Примене Баиесове теореме
Захваљујући овом резултату, истраживачке групе и различите корпорације успели су да побољшају системе који су засновани на знању.
На пример, у проучавању болести, Бајесова теорема може да помогне да се утврди вероватноћа да се болест нађе у групи људи са одређеном карактеристиком, узимајући као податке глобалне стопе болести и доминацију наведених карактеристика у и здрави и болесни људи.
С друге стране, у свету високих технологија утицао је на велике компаније које су захваљујући овом резултату развиле софтвер „заснован на знању“.
Као свакодневни пример имамо Мицрософт Оффице асистента. Баиесова теорема помаже софтверу да процијени проблеме које корисник представља и одреди који савјет да пружи тако да може понудити бољу услугу у складу са навикама корисника.
Примјећује се да је ова формула до недавно занемарена, углавном због тога што су, када је овај резултат развијен прије 200 година, за њих било мало практичне употребе. Међутим, у наше време, захваљујући великом технолошком напретку, научници су пронашли начине да овај резултат примене у праксу.
Решене вежбе
Вежба 1
Компанија за мобилне телефоне има двије машине А и Б. 54% произведених мобилних телефона производи машина А, а остатак машина Б. Нису сви произведени мобилни телефони у добром стању.
Удео оштећених мобилних телефона направљених од А износи 0,2, а Б 0,5. Колика је вероватноћа да је мобител из те фабрике неисправан? Колика је вероватноћа да, знајући да је мобилни телефон неисправан, долази из машине А?
Решење
Овде имате експеримент који се ради у два дела; у првом делу догађаји се дешавају:
О: ћелија направљена машином А.
Б: ћелија направљена машином Б.
Пошто машина А производи 54% мобилних телефона, а остатак производи машина Б, произлази да машина Б производи 46% мобилних телефона. Вероватноће ових догађаја су дате, наиме:
П (А) = 0,54.
П (Б) = 0,46.
Догађаји другог дела експеримента су:
Д: неисправан мобител.
Е: неисправни мобител.
Као што је наведено у изјави, вероватноће ових догађаја зависе од резултата добијених у првом делу:
П (ДА) = 0,2.
П (ДБ) = 0,5.
Помоћу ових вредности може се утврдити и вероватноћа комплемента тих догађаја, то јест:
П (ЕА) = 1 - П (ДА)
= 1 - 0,2
= 0.8
и
п (ЕБ) = 1 - П (ДБ)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Сада се догађај Д може записати на следећи начин:
Кориштење теореме множења за резултате условне вјероватности:
Након тога се одговори на прво питање.
Сада морамо само израчунати П (АД), за који се примењује Баиесова теорема:
Захваљујући Баиесовој теореми, може се рећи да је вероватноћа да је мобилни телефон направио машина А, знајући да је мобител неисправан, 0,319.
Вежба 2
Три кутије садрже црне и беле куглице. Састав сваког од њих је следећи: У1 = {3Б, 1Н}, У2 = {2Б, 2Н}, У3 = {1Б, 3Н}.
Једно од поља изабрано је насумично, а куглица је насумично извучена, а покаже се да је бел. Који је оквир вероватно изабран?
Решење
Користећи У1, У2 и У3, такође ћемо представити одабрани оквир.
Ови догађаји чине поделу С и потврђује се да је П (У1) = П (У2) = П (У3) = 1/3 јер је избор оквира случајан.
Ако је Б = {извучена кугла бела}, имаћемо П (Б-У1) = 3/4, П (Б-У2) = 2/4, П (Б-У3) = 1/4.
Оно што желимо да добијемо је вероватноћа да је лопта извађена из поља Уи знајући да је та лопта бела, односно П (Уи-Б), и да видимо која је од три вредности била највиша од којих се зна кутија је највероватније извлачење кугле.
Примјена Баиесове теореме на прву од кутија:
А за друга два:
П (У2-Б) = 2/6 и П (У3-Б) = 1/6.
Затим, прва од кутија је она са највећом вероватноћом да је изабрана за вађење играчке.
Референце
- Каи Лаи Цхунг. Елементарна теорија изводљивости са стохастичким процесима. Спрингер-Верлаг Нев Иорк Инц
- Кеннетх.Х. Росен, дискретна математика и њене апликације. САМЦГРАВ-ХИЛЛ / ИНТЕРАМЕРИЦАНА ДЕ ЕСПАНА.
- Паул Л. Меиер. Вероватноће и статистичке апликације. СА АЛХАМБРА МЕКСИЦАНА.
- Др Сеимоур Липсцхутз 2000 решена проблема дискретне математике. МцГРАВ-ХИЛЛ.
- Др Сеимоур Липсцхутз Теорија и проблеми вероватноће. МцГРАВ-ХИЛЛ.