Болцано теорема наводи да ако је функција непрекидна у свакој тачки затвореног интервала и уверило да је слика "А" и "Б" (под функцији) имају супротне знаке, онда ће бити бар једна тачка " ц "у отвореном интервалу (а, б), на начин да ће функција процењена у" ц "бити једнака 0.
Ову теорему изнио је филозоф, теолог и математичар Бернард Болзано 1850. Овај научник, рођен у садашњој Чешкој, био је један од првих математичара у историји који је формално доказао својства непрекидних функција.
Објашњење
Болзаноова теорема је позната и као теорема средње вредности, која помаже у одређивању специфичних вредности, нарочито нула, одређених стварних функција реалне променљиве.
У датој функцији ф (к) се наставља - то јест, да су ф (а) и ф (б) повезани кривом-, где је ф (а) испод осе-к (негативна), а ф (б) од изнад оси к (позитивно је), или обрнуто, графички ће на осе оси к бити тачка пресека која ће представљати прелазну вредност «ц», која ће бити између «а» и «б», и вредности ф (ц) биће једнак 0.
Када се графички анализира Болзанова теорема, може се видети да ће за сваку континуирану функцију ф дефинисану на интервалу, где је ф (а) * ф (б) мањи од 0, постојати барем један корен «ц» те функције у интервала (а, б).
Ова теорема не утврђује број тачака у том отвореном интервалу, само наводи да постоји најмање 1 тачка.
Демонстрација
Да бисмо доказали Болзанову теорему, претпоставља се без губитка опћенитости да је ф (а) <0 и ф (б)> 0; према томе, може постојати много вриједности између "а" и "б" за које је ф (к) = 0, али само једна мора бити приказана.
Започињемо евалуацијом ф у средини (а + б) / 2. Ако је ф ((а + б) / 2) = 0, доказ се овде завршава; у супротном, тада је ф ((а + б) / 2) позитиван или негативан.
Изабрана је једна половина интервала, тако да су знакови функције процењени у крајностима различити. Овај нови интервал ће бити.
Сада, ако ф процењено у средини није једнака нули, тада се изводи иста операција као и пре; то јест, одабрана је половина овог интервала која испуњава услове знакова. Нека ово буде нови интервал.
Ако наставите са овим поступком, имаћете две секвенце {ан} и {бн}, тако да:
{ан} се повећава, а {бн} смањује:
а ≤ а1 ≤ а2 ≤… ≤ ан ≤…. ≤…. ≤ бн ≤…. ≤ б2 ≤ б1 ≤ б.
Ако израчунате дужину сваког интервала, мораћете:
б1-а1 = (ба) / 2.
б2-а2 = (ба) / 2².
….
бн-ан = (ба) / 2 ^ н.
Стога је граница како се н приближава бесконачности (бн-ан) једнака 0.
Користећи то {ан} се повећава и ограничава, а {бн} опада и ограничава, имамо вредност «ц» такву да:
а ≤ а1 ≤ а2 ≤… ≤ ан ≤… .≤ ц ≤…. ≤ бн ≤…. ≤ б2 ≤ б1 ≤ б.
Граница ан је „ц“, а граница {бн} такође је „ц“. Стога, с обзиром на било који δ> 0, увек постоји „н“, тако да се интервал налази унутар интервала (ц-δ, ц + δ).
Сада мора да се покаже да је ф (ц) = 0.
Ако је ф (ц)> 0, тада је ф континуиран, постоји ε> 0 такав да је ф позитиван током целог интервала (ц - ε, ц + ε). Међутим, као што је већ споменуто, постоји вредност "н" таква да се ф пријава мења и, осим тога, садржи унутар (ц - ε, ц + ε), што представља контрадикцију.
Ако је ф (ц) <0, тада је ф континуиран, постоји ε> 0 такав да је ф негативан током интервала (ц - ε, ц + ε); али постоји вредност "н" таква да ф мења пријаву. Испада да је садржан унутар (ц - ε, ц + ε), што је такође контрадикција.
Стога је ф (ц) = 0 и то смо желели доказати.
За шта је то?
Из своје графичке интерпретације, Болзанова теорема се користи за проналажење коријена или нула у континуираној функцији, кроз бисекцију (апроксимацију), што је инкрементални начин претраживања који интервале интервале дијели са 2.
Затим се узима интервал или где долази до промене знака и поступак се понавља све док интервал није све мањи и мањи како би се могао приближити жељеној вредности; то јест на вредност коју функција чини 0.
Укратко, да бисте применили Болзанову теорему и на тај начин пронашли корене, ограничили нуле функције или дали решење једначини, следећи кораци се спроводе:
- Провјерава се је ли ф континуирана функција на интервалу.
- Ако интервал није дат, мора се наћи тамо где је функција непрекидна.
- Провера се да ли крајности интервала дају супротне знакове када се процењују у ф.
- Ако се не добију супротни знакови, интервал се мора поделити на два подинвервала помоћу средње тачке.
- Процијените функцију у средини и провјерите је ли испуњена Болзанова хипотеза, гдје је ф (а) * ф (б) <0.
- У зависности од знака (позитивне или негативне) пронађене вредности, поступак се понавља са новим подинвалом док се горе наведена хипотеза не испуни.
Решене вежбе
Вежба 1
Утврдите да ли функција ф (к) = к 2 - 2 има најмање једно стварно решење у интервалу.
Решење
Имамо функцију ф (к) = к 2 - 2. Будући да је полином, то значи да је континуирана у било ком интервалу.
Од њега се тражи да утврди да ли има реално решење у интервалу, па је сада само потребно заменити крајности интервала у функцији да би знали знак ових и знали да ли испуњавају услов да су различити:
ф (к) = к 2 - 2
ф (1) = 1 2 - 2 = -1 (негативно)
ф (2) = 2 2 - 2 = 2 (позитивно)
Стога је знак ф (1) = знак ф (2).
Ово осигурава да постоји бар једна тачка „ц“ која припада интервалу, у којој је ф (ц) = 0.
У овом случају вредност „ц“ може се лако израчунати на следећи начин:
к 2 - 2 = 0
к = ± √2.
Дакле, √2 ≈ 1,4 припада интервалу и испуњава тај ф (√2) = 0.
Вежба 2
Покажите да једначина к 5 + к + 1 = 0 има најмање једно стварно решење.
Решење
Прво напоменимо да је ф (к) = к 5 + к + 1 полиномна функција, што значи да је континуирана на свим стварним бројевима.
У овом случају није дат интервал, тако да вредности морају бити изабране интуитивно, по могућности близу 0, да би се проценила функција и пронашли промене знака:
Ако користите интервал, морате:
ф (к) = к 5 + к + 1.
ф (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
ф (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0.
Како нема промене знака, поступак се понавља са другим интервалом.
Ако користите интервал, морате:
ф (к) = к 5 + к + 1.
ф (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
ф (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
У овом интервалу долази до промене знака: знак ф (-1) = знак ф (0), што значи да функција ф (к) = к 5 + к + 1 има бар један прави корен «ц» у интервалу, тако да је ф (ц) = 0. Другим речима, тачно је да к 5 + к + 1 = 0 има стварно решење у интервалу.
Референце
- Бронсхтеин И, СК (1988). Приручник из математике за инжењере и студенте. . Редакција МИР.
- Георге, А. (1994). Математика и ум. Окфорд Университи Пресс.
- Илин В, ПЕ (1991). Математичка анализа. У три свеска. .
- Јесус Гомез, ФГ (2003). Наставници средњег образовања. ИИ свезак. МАД.
- Матеос, МЛ (2013). Основна својства анализе у Р. Едиторес, 20. дец.
- Пискунов, Н. (1980). Диференцијално и интегрално рачунање. .
- Сидсаетер К, ХП (2005). Математика за економску анализу. Фелик Варела.
- Виллиам Х. Баркер, РХ (други). Континуирана симетрија: од Еуклида до Клајна. Америцан Матхематицал Соц.