ЧЕБИШЕВА ТЕОРЕМА: ШТА ЈЕ, АПЛИКАЦИЈЕ И ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Теорема Цхебисхев (Цхебисхев или неједнакост) је један од најзначајнијих класичних резултата теорије вероватноће. Омогућује процену вероватноће догађаја описаног у случајној променљивој Кс, пружајући нам везу која не зависи од дистрибуције случајне променљиве, већ од варијанце Кс.

Теорема је добила име по руском математичару Пафнутију Чебишову (који се такође назива Цхебицхев или Тцхебицхефф) који је, упркос томе што није први изнео теорему, први дао доказ 1867. године.

Ова неједнакост или оне које се због својих карактеристика називају Чебишкова неједнакост, користи се углавном за приближавање вероватноћа израчунавањем висина.

Од чега се састоји?

У проучавању теорије вероватноће, долази до закључка да ако је позната функција расподјеле случајне варијабле Кс, може се израчунати њена очекивана вриједност - или математичко очекивање Е (Кс) - и њена варијанца Вар (Кс), све док такви износи постоје. Међутим, обратно није нужно тачно.

Односно, знајући Е (Кс) и Вар (Кс) није нужно добити функцију расподјеле Кс, па су количине као што је П (-Кс-> к) за неке к> 0 врло тешко добити. Али захваљујући Чебишовој неједнакости могуће је проценити вероватноћу случајне променљиве.

Чебисхов теорем говори нам да ако имамо случајну променљиву Кс над узорком простора С са вероватноћом функције п, а ако је к> 0, онда:

Апликације и примери

Међу бројним примјенама Чебишкове теореме може се споменути сљедеће:

Ограничавање вероватноће

Ово је најчешћа примена и користи се за постављање горње границе за П (-КСЕ (Кс) -≥к) где је к> 0, само уз варијанцу и очекивање случајне променљиве Кс, без познавања функције вероватноће .

Пример 1

Претпоставимо да је број производа произведених у компанији током једне недеље случајна варијабла са просеком 50.

Ако се зна да је варијанца једне недеље производње једнака 25, шта онда можемо рећи о вероватноћи да ће се ове недеље производња разликовати за више од 10?

Решење

Примјењујући Чебишову неједнакост имамо:

Из овога можемо добити да је вероватноћа да ће у производној недељи број производа прећи просек за више од 10 највише 1/4.

Доказ теорема граница

Чебишова неједнакост игра важну улогу у доказивању најважнијих граничних теорема. Као пример имамо следеће:

Слаби закон великог броја

Овај закон каже да је дат низ Кс1, Кс2, …, Ксн, … независних случајних променљивих са истом просечном расподјелом Е (Кси) = μ и варијанцом Вар (Кс) = σ ² , и познатим средњим узорком:

Онда за к> 0 имамо:

Или, еквивалентно:

Демонстрација

Прво приметимо следеће:

Пошто су Кс1, Кс2,…, Ксн независни, то слиједи:

Стога је могуће навести следеће:

Затим, користећи Цхебисхову теорему, имамо:

Коначно, теорема произлази из чињенице да је граница десно једнака нули када се н приближава бесконачности.

Треба напоменути да је овај тест направљен само за случај у којем постоји варијанца Кси; то јест, не разилази се. Стога опажамо да је теорема увек тачна ако Е (Кси) постоји.

Чебишова гранична теорема

Ако је Кс1, Кс2,…, Ксн,… низ независних случајних променљивих тако да постоји неки Ц <бесконачност, такав да је Вар (Ксн) ≤ Ц за све природне н, онда за било који к> 0:

Демонстрација

Пошто је низ варијација једнолично ограничен, имамо Вар (Сн) ≤ Ц / н, за сва природна н. Али то знамо:

Постизање н ка бесконачности, следећи резултати:

Пошто вероватноћа не може да пређе вредност 1, добија се жељени резултат. Као последица ове теореме могли бисмо поменути посебан случај Берноуллија.

Ако се експеримент н пута понавља неовисно са два могућа исхода (неуспех и успех), где је п вероватноћа успеха у сваком експерименту и Кс је случајна променљива која представља број добијених успеха, тада је за сваки к> 0 мораш да:

Величина узорка

У погледу варијанце, Чебишова неједнакост омогућава нам да пронађемо величину узорка н која је довољна да гарантујемо да је вероватноћа да ће се појавити -Сн-µ -> = к најмања што је пожељно, што нам омогућава апроксимацију до просека.

Конкретно, нека су Кс1, Кс2, … Ксн узорак независних случајних променљивих величине н и претпоставимо да је Е (Кси) = μ и њена варијанца σ ² . Затим, по Чебишовој неједнакости имамо:

Пример

Претпоставимо да су Кс1, Кс2, … Ксн узорак независних случајних променљивих са Берноуллијевом дистрибуцијом, тако да они узимају вредност 1 са вероватноћом п = 0,5.

Колика мора бити величина узорка да би се могло гарантовати да је вероватноћа да је разлика између аритметичке средње вредности Сн и њене очекиване вредности (веће од више од 0,1) мања или једнака 0,01?

Решење

Имамо да је Е (Кс) = μ = п = 0.5 и да је Вар (Кс) = σ ² = п (1-п) = 0.25. По Чебишовој неједнакости, за било који к> 0 имамо:

Сада, узимајући к = 0,1 и δ = 0,01, имамо:

На овај начин се закључује да је потребна величина узорка од најмање 2500 како би се гарантовало да је вероватноћа догађаја -Сн - 0,5 -> = 0,1 мања од 0,01.

Неједнакости типа Чебишов

Постоји неколико неједнакости везаних за Чебишову неједнакост. Једна од најпознатијих је Маркова неједнакост:

У овом изразу Кс је не-негативна случајна променљива са к, р> 0.

Марковска неједнакост може имати различите облике. На пример, нека је И негативна случајна променљива (па је П (И> = 0) = 1) и претпоставимо да постоји Е (И) = μ. Претпоставимо такође да (Е (И)) ^р = μ _р постоји за неки цели број р> 1. Тако:

Друга неједнакост је Гауссова, која нам говори да је дата унимодална случајна променљива Кс са модом на нули, а затим за к> 0,

Референце

1. Каи Лаи Цхунг. Елементарна теорија изводљивости са стохастичким процесима. Спрингер-Верлаг Нев Иорк Инц
2. Кеннетх.Х. Росен, дискретна математика и њене апликације. САМЦГРАВ-ХИЛЛ / ИНТЕРАМЕРИЦАНА ДЕ ЕСПАНА.
3. Паул Л. Меиер. Вероватноће и статистичке апликације. СА АЛХАМБРА МЕКСИЦАНА.
4. Др Сеимоур Липсцхутз 2000 решена проблема дискретне математике. МцГРАВ-ХИЛЛ.
5. Др Сеимоур Липсцхутз Теорија и проблеми вероватноће. МцГРАВ-ХИЛЛ.