ЕУКЛИДОВА ТЕОРЕМА: ДОКАЗ, ПРИМЈЕНА И ВЈЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Тхе Еуклидов теорема показује особине троугла до подвући црту која дели ИТ у два нова троугла који су слични и, заузврат, су сличне оригиналном троугао; тада постоји однос пропорционалности.

Еуклид је био један од највећих математичара и геометрија античког доба који је извео неколико доказа важних теорема. Једна од главних је она која носи његово име, а која је имала широку примену.

То је случај јер кроз ову теорему на једноставан начин објашњава геометријске односе који постоје у правом троуглу, где су ноге троугла повезане са њиховим пројекцијама на хипотенузи.

Формуле и демонстрације

Еуклидова теорема предлаже да се у сваком правом троуглу, када се црта линија - која представља висину која одговара врху правом углу у односу на хипотенузу - од оригинала формирају два троугла.

Ови троуглови ће бити слични једни другима и такође ће бити слични оригиналном троуглу, што значи да су њихове сличне стране пропорционалне једна другој:

Углови три троугла су складни; то јест, када су ротирани за 180 степени око своје врхове, један угао се подудара са другим. То подразумева да ће сви бити исти.

На овај начин сличност која постоји између три троугла може се такође потврдити једнакошћу њихових углова. Из сличности троуглова, Еуклид утврђује пропорције истих из две теореме:

- Теорема висине.

- Теорем о ногама.

Ова теорема има широку примену. У стара времена су се користили за израчунавање висина или растојања, што је представљало велики напредак за тригонометрију.

Тренутно се примењује у разним областима које су засноване на математици, као што су инжењерство, физика, хемија и астрономија, међу многим другим областима.

Теорема висине

У овој теореми је утврђено да је у било којем правом троуглу висина извучена из правог угла у односу на хипотенузу геометријска пропорционална средња (квадрат висине) између пројекција ногу које она одређује на хипотенузи.

Односно, квадрат висине биће једнак множењу пројектованих ногу које формирају хипотенузу:

х _ц ² = м _* н

Демонстрација

Обзиром на троугао АБЦ, који се налази тачно у оси, цртање висине ствара два слична десна троугла, АДЦ и БЦД; стога су њихове одговарајуће стране пропорционалне:

На такав начин да висина х _ц која одговара сегменту ЦД, одговара хипотенузи АБ = ц, тако да имамо:

Заузврат, ово одговара:

Решавајући хипотенузу (х _ц ), да помножимо два члана једнакости, имамо:

х _{ц *} х _{ц =} м _* н

х _ц ² = м _* н

Дакле, вредност хипотенузе даје:

Теорема ногу

У овој теореми утврђено је да ће у сваком правом троуглу мера сваке ноге бити геометријска пропорционална средина (квадрат сваке ноге) између мере хипотенузе (комплетне) и пројекције сваке на њу:

б ² = ц _* м

а ² = ц _* н

Демонстрација

С обзиром на троугао АБЦ, који је тачно у вертексу Ц, на такав начин да је његова хипотенуза ц, при цртању висине (х) одређују се пројекције кракова а и б, који су сегменти м и н, односно који леже на хипотенуза.

Дакле, имамо да висина нацртана на правом троуглу АБЦ ствара два слична десна троугла, АДЦ и БЦД, тако да су одговарајуће стране пропорционалне, као што је ова:

ДБ = н, што је пројекција ногу ЦБ на хипотенузу.

АД = м, што је пројекција АЦ ноге на хипотенузу.

Затим се хипотенуза ц одређује збиром кракова његових пројекција:

ц = м + н

Због сличности троуглова АДЦ и БЦД, имамо:

Горе наведено је исто што и:

Решавајући за легуру „а“ да помножимо два члана једнакости, имамо:

а _* а = ц _* н

а ² = ц _* н

Дакле, вредност ноге „а“ је дата од:

На исти начин, због сличности троуглова АЦБ и АДЦ, имамо:

Горе наведено је једнако:

Решавајући за лег "б" да помножимо два члана једнакости, имамо:

б _* б = ц _* м

б ² = ц _* м

Дакле, вредност ноге „б“ је дата од:

Однос између Еуклидових теорема

Теореме које се односе на висину и ноге односе се једна на другу јер се мера обе праве у односу на хипотенузу правог троугла.

Кроз однос Еуклидових теорема може се наћи и вредност висине; то је могуће решавањем вредности м и н из теореме о нози и оне се замењују у теореми висине. На овај начин се постиже да је висина једнака умножавању ногу, дељено са хипотенузом:

б ² = ц _* м

м = б ² ÷ ц

а ² = ц _* н

н = а ² ÷ ц

У теореми висине заменимо м и н:

х _ц ² = м _* н

х _ц ² = (б ² ÷ ц) _* (а ² ÷ ц)

х _ц = (б ² _* а ² ) ÷ ц

Решене вежбе

Пример 1

С обзиром на троугао АБЦ, тачно на А, одредите меру АЦ и АД, ако је АБ = 30 цм и БД = 18 цм

Решење

У овом случају имамо мерења једне од пројектованих ногу (БД) и једне од ногу оригиналног троугла (АБ). На овај начин се теорема о нози може применити да би се пронашла вредност БЦ ноге.

АБ ² = БД _* БЦ

(30) ² = 18 _* пне

900 = 18 _* пне

БЦ = 900 ÷ 18

БЦ = 50 цм

Вредност ЦД-а за ноге може се наћи знајући да је БЦ = 50:

ЦД = БЦ - БД

ЦД = 50 - 18 = 32 цм

Сада је могуће одредити вредност АЦ ноге, поново применити теорему о нози:

АЦ ² = ЦД _* БД

АЦ ² = 32 _* 50

АЦ ² = 160

АЦ = √1600 = 40 цм

Да би се одредила вредност висине (АД), примењује се теорема висине, пошто су вредности пројектованих кракова ЦД и БД познате:

АД ² = 32 _* 18

АД ² = 576

АД = √576

АД = 24 цм

Пример 2

Одредите вредност висине (х) троугла МНЛ, тачно у Н, познавајући мере сегмената:

НЛ = 10 цм

МН = 5 цм

ПМ = 2 цм

Решење

Имамо меру једне од ногу која је пројектована на хипотенузи (ПМ), као и мере ноге првобитног троугла. На овај начин се теорема о нози може применити да би се пронашла вредност друге пројектоване ноге (ЛН):

НЛ ² = ПМ _* ЛМ

(10) ² = 5 _* ЛМ

100 = 5 _* ЛМ

ПЛ = 100 ÷ 5 = 20

Како је вредност ногу и хипотенузе већ позната, кроз однос теорема висине и ноге, вредност висине може се утврдити:

НЛ = 10

МН = 5

ЛМ = 20

х = (б ² _* а ² ) ÷ ц.

х = (10 ² _* 5 ² ) ÷ (20)

х = (100 _* 25) ÷ (20)

х = 2500 ÷ 20

х = 125 цм.

Референце

1. Браун, Е. (2011). Хаос, фрактали и чудне ствари. Фонд економске културе.
2. Цабрера, ВМ (1974). Модерна математика, том 3.
3. Даниел Хернандез, ДП (2014). Математика 3. године. Каракас: Сантиллана.
4. Енцицлопаедиа Британница, тј. (деветнаест деведесет пет). Хиспаниц Енцицлопедиа: Мацропедиа. Енциклопедија Британница Публисхерс.
5. Еуцлид, РП (1886). Еуклидови елементи геометрије.
6. Гуардено, АЈ (2000). Заоставштина математике: од Еуклида до Њутана, генијалци кроз своје књиге. Универзитет у Севиљи.