МОИВРЕОВА ТЕОРЕМА: ДОКАЗ И РЕШЕНЕ ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Теорема Моивре примењена алгебра темељне процесе као што је овлашћење и вађење корена у комплексних бројева. Теорему је изнео познати француски математичар Абрахам де Моивре (1730), који је сложене бројеве повезао са тригонометријом.

Абрахам Моивре је ово повезивање извршио изразима синуса и косинуса. Овај математичар је створио својеврсну формулу преко које је могуће подићи сложени број з на снагу н, која је позитивни цели број већи од или једнак 1.

Шта је Моивреова теорема?

Моивреова теорема наводи следеће:

Ако имамо сложен број у поларном облику з = р _Ɵ , где је р модул сложеног броја з, а угао цаллед назива се амплитуда или аргумент било којег сложеног броја са 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, да израчунамо његов н– ове снаге неће бити потребно да је множимо сами н-пута; то јест, није потребно правити следећи производ:

З ^н = з _* з _* з _{*. . . *} з = р _{Ɵ *} р _{Ɵ *} р _{Ɵ *. . . *} р _Ɵ н-пута.

Напротив, теорема каже да, пишући з у свом тригонометријском облику, за израчунавање н-те снаге поступамо на следећи начин:

Ако је з = р (цос Ɵ + и _* син Ɵ), онда је з ^н = р ^н (цос н * Ɵ + и _* син н * Ɵ).

На пример, ако је н = 2, онда је з ² = р ² . Ако је н = 3, онда је з ³ = з ² _* з. Такође:

з ³ = р ² _* р = р ³ .

На овај начин се могу добити тригонометријски односи синуса и косинуса за вишеструке углове, све док су познати тригонометријски односи угла.

На исти начин може се користити за проналажење прецизнијих и мање збуњујућих израза за н-ти корен сложеног броја з, тако да је з ^н = 1.

За доказивање Моивреове теореме користи се принцип математичке индукције: ако цели број „а“ има својство „П“, а ако је за било који цели број „н“ већи од „а“, који има својство „П“ Испуњава да н + 1 такође има својство "П", тада сви цели бројеви већи или једнаки "а" имају својство "П".

Демонстрација

Дакле, доказ теореме се врши следећим корацима:

Индуктивна база

Прво се проверава да ли је н = 1.

Пошто је з ¹ = (р (цос Ɵ + и _* син Ɵ)) ¹ = р ¹ (цос Ɵ + и _* син Ɵ) ¹ = р ¹ , теорема важи за н = 1.

Индуктивна хипотеза

Претпоставља се да је формула тачна за неки позитивни цели број, то јест, н = к.

з ^к = (р (цос Ɵ + и _* син Ɵ)) ^к = р ^к (цос к Ɵ + и _* син к Ɵ).

Верификација

Доказано је да је тачно за н = к + 1.

Пошто је з ^{к + 1} = з ^к _* з, тада је з ^{к + 1} = (р (цос Ɵ + и _* син Ɵ)) ^{к + 1} = р ^к (цос кƟ + и _* син кƟ) _* р (цос Ɵ + и _* сенƟ).

Тада се изрази множе:

з ^{к + 1} = р ^{к + 1} ((цос кƟ) _* (цосƟ) + (цос кƟ) _* (и _* синƟ) + (и _* син кƟ) _* (цосƟ) + (и _* син кƟ) _* (и _* сенƟ)).

На тренутак се фактор р ^{к + 1} игнорише , а узима се уобичајени фактор и:

(цос кƟ) _* (цосƟ) + и (цос кƟ) _* (синƟ) + и (син кƟ) _* (цосƟ) + и ² (син кƟ) _* (синƟ).

Пошто је и ² = -1, замјењујемо га у изразу и добијамо:

(цос кƟ) _* (цосƟ) + и (цос кƟ) _* (синƟ) + и (син кƟ) _* (цосƟ) - (син кƟ) _* (синƟ).

Сада су прави и замишљени део наређени:

(цос кƟ) _* (цосƟ) - (син кƟ) _* (синƟ) + и.

Да би се поједноставио израз, за ​​косинус и синус се примењују тригонометријски идентитети зброја углова који су:

цос (А + Б) = цос А _* цос Б - син А _* син Б.

син (А + Б) = син А _* цос Б - цос А _* цос Б.

У овом случају, променљиве су углови Ɵ и кƟ. Примјењујући тригонометријске идентитете, имамо:

цос кƟ _* цосƟ - син кƟ _* синƟ = цос (кƟ + Ɵ)

син кƟ _* цосƟ + цос кƟ _* синƟ = грех (кƟ + Ɵ)

На овај начин, израз је:

з ^{к + 1} = р ^{к + 1} (цос (кƟ + Ɵ) + и _* син (кƟ + Ɵ))

з ^{к + 1} = р ^{к + 1} (цос + и _* син).

Тако би се могло показати да је резултат тачан за н = к + 1. По принципу математичке индукције закључује се да је резултат тачан за све позитивне цели бројеве; то јест, н ≥ 1.

Негативни цели број

Моивреова теорема се такође примењује када је н ≤ 0. Размотримо негативни цели број «н»; тада се "н" може записати као "-м", то јест, н = -м, где је "м" позитивни цели број. Тако:

(цос Ɵ + и _* син Ɵ) ^н = (цос Ɵ + и _* син Ɵ) ^-м

Да бисмо добили експонент «м» на позитиван начин, израз се пише обратно:

(цос Ɵ + и _* син Ɵ) ^н = 1 ÷ (цос Ɵ + и _* син Ɵ) ^м

(цос Ɵ + и _* син Ɵ) ^н = 1 ÷ (цос мƟ + и _* син мƟ)

Сада се користи да ако је з = а + б * и сложен број, тада је 1 ÷ з = аб * и. Тако:

(цос Ɵ + и _* син Ɵ) ^н = цос (мƟ) - и _* син (мƟ).

Користећи то цос (к) = цос (-к) и тај -сен (к) = син (-к), имамо:

(цос Ɵ + и _* син Ɵ) ^н =

(цос Ɵ + и _* син Ɵ) ^н = цос (- мƟ) + и _* син (-мƟ)

(цос Ɵ + и _* син Ɵ) ^н = цос (нƟ) - и _* син (нƟ).

Дакле, може се рећи да се теорема односи на све целобројне вредности „н“.

Решене вежбе

Прорачун позитивних моћи

Једна од операција са сложеним бројевима у њиховом поларном облику је множење од два; у том случају се модули множе и аргументи се додају.

Ако имате два сложена броја з _{1 и} з ₂ и желите да израчунате (з ₁ * з ₂ ) ² , тада наставите на следећи начин:

з ₁ з ₂ = *

Дистрибутивна имовина важи:

з ₁ з ₂ = р ₁ р ₂ (цос Ɵ _{1 *} цос Ɵ ₂ + и _* цос Ɵ _{1 *} и _* син Ɵ ₂ + и _* син Ɵ _{1 *} цос Ɵ ₂ + и ² _* син Ɵ _{1 *} син Ɵ ₂ ).

Они су груписани, узимајући израз „и“ као заједнички фактор израза:

з ₁ з ₂ = р ₁ р ₂

Пошто је и ² = -1, он је супституисан у изразу:

з ₁ з ₂ = р ₁ р ₂

Стварни појмови су прегруписани са стварним, а имагинарни са имагинарним:

з ₁ з ₂ = р ₁ р ₂

На крају, тригонометријска својства важе:

з ₁ з ₂ = р ₁ р ₂ .

У закључку:

(з ₁ * з ₂ ) ² = (р ₁ р ₂ ) ²

= р ₁ ² р ₂ ² .

Вежба 1

Запишите сложен број у поларном облику ако је з = - 2 -2и. Затим помоћу Моивреове теореме израчунајте з ⁴ .

Решење

Комплексни број з = -2 -2и изражава се у правоугаоном облику з = а + би, где:

а = -2.

б = -2.

Знајући да је поларни облик з = р (цос Ɵ + и _* син Ɵ), морамо одредити вредност модула „р“ и вредност аргумента „Ɵ“. Пошто је р = √ (а² + б²), дате вредности су замењене:

р = √ (а² + б²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Затим, за одређивање вредности «Ɵ», примењује се овај правоугаони облик, који је дат формулом:

тан Ɵ = б ÷ а

тан Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Пошто је тан (Ɵ) = 1 и имамо <0, тада имамо:

Ɵ = арцтан (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Како су већ добијене вредности «р» и «Ɵ», комплексни број з = -2 -2и може се изразити у поларном облику заменом вредности:

з = 2√2 (цос (5Π / 4) + и _* син (5Π / 4)).

Сада користимо Моивреову теорему за израчунавање з ⁴ :

з ⁴ = 2√2 (цос (5Π / 4) + и _* син (5Π / 4)) ⁴

= 32 (цос (5Π) + и _* син (5Π)).

Вежба 2

Пронађите производ сложених бројева тако што ћете га изразити у поларном облику:

з1 = 4 (цос 50 ^о + и _* син 50 ^о )

з2 = 7 (цос 100 ^о + и _* син 100 ^о ).

Затим израчунајте (з1 * з2) ².

Решење

Прво се формира производ задатих бројева:

з ₁ з ₂ = *

Затим се модули множе један са другим и додају се аргументи:

з ₁ з ₂ = (4 _* 7) _*

Израз је поједностављен:

з ₁ з ₂ = 28 _* (цос 150 ^о + (и _* син 150 ^о ).

Коначно, Моивреова теорема важи:

(з1 * з2) ² = (28 _* (цос 150 ^о + (и _* син 150 ^о )) ² = 784 (цос 300 ^о + (и _* син 300 ^о )).

Прорачун негативних моћи

Да би се два сложена броја з _{1 и} з ₂ поделила у њиховом поларном облику, модул се дели и аргументи се одузимају. Дакле, квоцијент је з ₁ ÷ з ₂ и изражава се на сљедећи начин:

з ₁ ÷ з ₂ = р1 / р2 ().

Као и у претходном случају, ако желимо да израчунамо (з1 ÷ з2) ³, прво се врши дељење, а затим се користи Моивреова теорема.

Вежба 3

Коцкице:

з1 = 12 (цос (3π / 4) + и * син (3π / 4)),

з2 = 4 (цос (π / 4) + и * син (π / 4)),

израчунати (з1 ÷ з2) ³.

Решење

Слиједом горе описаних корака може се закључити да:

(з1 ÷ з2) ³ = ((12/4) (цос (3π / 4 - π / 4) + и * син (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (цос (π / 2) + и * син (π / 2))) ³

= 27 (цос (3π / 2) + и * син (3π / 2)).

Референце

1. Артхур Гоодман, ЛХ (1996). Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Пеарсон Едуцатион.
2. Цроуцхер, М. (друго). Из Моивреове теореме за тригове идентитете. Волфрам Демонстратионс Пројецт.
3. Хазевинкел, М. (2001). Математичка енциклопедија.
4. Мак Петерс, ВЛ (1972). Алгебра и тригонометрија.
5. Перез, ЦД (2010). Пеарсон Едуцатион.
6. Станлеи, Г. (друго). Линеарна алгебра. Грав-Хилл.
7. , М. (1997). Прекалкулација. Пеарсон Едуцатион.