МИЛЕТУС ТЕОРЕМА ПРИЧЕ: ПРВО, ДРУГО И ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Прва и друга теорема Талеса Милетовог заснивају се на одређивању троуглова из сличних (прва теорема) или из кругова (друга теорема). Они су били врло корисни у разним областима. На пример, прва теорема је била веома корисна за мерење великих структура када није било софистицираних мерних инструмената.

Тхалес оф Милетус био је грчки математичар који је дао велики допринос геометрији, од чега се ове двије теореме истичу (у неким текстовима он је такође написан као Тхалес) и њихове корисне примјене. Ови резултати су коришћени кроз историју и омогућили су решавање широког спектра геометријских проблема.

Тхалес оф Милетус

Тхалесова прва теорема

Тхалесова прва теорема је врло корисно средство које, између осталог, омогућава изградњу троугла сличног другом до тада познатом. Одатле су изведене различите верзије теореме које се могу применити у више контекста.

Пре него што дате изјаву, присетимо се неких појмова сличности троуглова. Два троугла су у основи слична ако су њихови углови једнаки (имају исту меру). То резултира чињеницом да ако су два троугла слична, њихове одговарајуће (или хомологне) стране су пропорционалне.

Тхалесова прва теорема каже да ако се линија повуче паралелно са било којом од њених страна у датом троуглу, нови добијени троугао биће сличан почетном троуглу.

Такође се добија однос између формираних углова, као што је приказано на следећој слици.

Апликација

Између бројних примена, посебно се истиче једно и односи се на један од начина на који су вршена мерења великих грађевина у антици, време у коме је живео Талес и у коме није било модерних мерних уређаја који су постоје сада.

Каже се да је тако Тхалес успео да измери највишу пирамиду у Египту, Цхеопс. За то је Тхалес претпостављао да рефлексије сунчевих зрака додирују тло творећи паралелне линије. Под овом претпоставком, вертикално је забио штап или трску у земљу.

Потом је користио сличност два резултирајућа троугла, један формиран дужином сенке пирамиде (која се лако израчуна) и висином пирамиде (непознато), а други формиран дужинама сенке и висину штапа (која се такође може лако израчунати).

Кориштењем пропорционалности између тих дужина, висина пирамиде се може ријешити и знати.

Иако ова метода мерења може дати значајну грешку апроксимације у погледу тачности висине и зависи од паралелизма сунчевих зрака (што заузврат зависи од тачног времена), мора се признати да је реч о врло генијалној идеји и да је пружио добру алтернативу за мерење за сада.

Примери

Пронађите вредност к за сваки случај:

Тхалесова друга теорема

Друга теорема Тхалеса одређује десни троугао уписан у кружницу у свакој тачки исте.

Трокут уписан у обод је троугао чије су врхове на ободу, остајући тако у њему.

Конкретно, Тхалесова друга теорема наводи следеће: с обзиром на кружницу са центром О и пречником АЦ, свака тачка Б на ободу (осим А и Ц) одређује прави троугао АБЦ, са правим углом

Као оправдање напоменимо да и ОА и ОБ и ОЦ одговарају полумјеру обима; према томе, и њихова мерења су иста. Из овога произлази да су троуглови ОАБ ​​и ОЦБ изосцеле, где

Познато је да је сума углова троугла једнака 180º. Помоћу овог троугла АБЦ имамо:

2б + 2а = 180 °.

Еквивалентно је да имамо б + а = 90º и б + а =

Имајте на уму да је прави троугао који је дата Тхалесовом другом теоремом управо онај чија је хипотенуза једнака пречнику обима. Стога је у потпуности одређује полукруг који садржи тачке троугла; у овом случају горњи полукруг.

Приметимо и да је у правом троуглу добијеном помоћу Тхалесове друге теореме хипотенуза подељена на два једнака дела ОА и ОЦ (радијус). Заузврат, ова мера је једнака сегменту ОБ (такође радијусу), који одговара медијани троугла АБЦ од стране Б.

Другим речима, дужина медијале правог троугла АБЦ која одговара вертексу Б у потпуности је одређена половином хипотенузе. Подсетимо се да је медијан троугла сегмент од једног од врхова до средине тачке супротне стране; у овом случају сегмент БО.

Обрезан опсег

Други начин посматрања Тхалесове друге теореме јесте кроз обим који је описан правим троуглом.

Опћенито, обим који је описан полигоном састоји се од обима који пролази кроз сваку од његових врхова, кад год је то могуће нацртати.

Помоћу Тхалесове друге теореме, датој правом троуглу, увек можемо конструирати обим који јој је описан, са полумјером једнаким половини хипотенузе и ободу (средишњем дијелу обима), који је једнак половини хипотенузе.

Апликација

Веома важна примена Тхалесове друге теореме и можда највише коришћена је проналажење тангенцијалних линија ка датом кругу, кроз тачку П која је ван њега (позната).

Имајте на уму да с обзиром на кружницу (цртану плавом бојом на доњој слици) и спољашњу тачку П, постоје две линије тангенте на кружницу које пролазе кроз П. Нека су Т и Т 'тачке тангенције, р полумјер круга и Или центар.

Познато је да је сегмент који иде од средишта круга до тачке исте исте, окомит на ову тангенцијалну линију. Дакле, угао ОТП је тачан.

Из онога што смо раније видели у Тхалесовој првој теореми и њеним различитим верзијама, видимо да је могуће уписати ОТП троугао у други круг (црвеном бојом).

Слично се добија да се троугао ОТ'П може уписати унутар истог претходног обима.

По Тхалесовој другој теореми такође добијамо да је пречник ове нове кружнице управо хипотенуза троугла ОТП (која је једнака хипотенузи троугла ОТ'П), а средиште је средина ове хипотенузе.

Да бисте израчунали средиште новог обима, тада је довољно израчунати средину између центра - рецимо М - почетног обима (који већ знамо) и тачке П (коју такође знамо). Тада ће полупречник бити удаљеност између ове тачке М и П.

Помоћу полупречника и средишта црвеног круга можемо пронаћи његову картузијунску једнаџбу, за коју памтимо да је дата (кх) ² + (ик) ² = ц ² , где је ц радијус и тачка (х, к) је центар обима.

Знајући сада једначине оба круга, можемо их пресецати решавањем система једнаџби које су формирали и на тај начин добити тачке тангенције Т и Т '. Коначно, да би се знале жељене тангенцијалне линије, довољно је пронаћи једначину линија које пролазе кроз Т и П, те кроз Т 'и П.

Пример

Размотрите обим пречника АЦ, средишта О и полупречника 1 цм. Нека је Б тачка на обиму тако да је АБ = АЦ. Колико је висок АБ?

Решење

По Тхалесовој другој теореми имамо да је троугао АБЦ тачан и да хипотенуза одговара пречнику који у овом случају мери 2 цм (радијус је 1 цм). Затим, питагорејским теоремом имамо:

Референце

1. Ана Лира, ПЈ (2006). Геометрија и тригонометрија. Запопан, Јалисцо: Едиционес Умбрал.
2. Гоодман, А., Хирсцх, Л. (1996). Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Пеарсон Едуцатион.
3. Гутиеррез, А. ДО. (2004). Методологија и примене математике у Министарству просвете ЕСО.
4. ИГЕР. (2014). Математика Други семестар Зацулеу. Гватемала: ИГЕР.
5. Јосе Јименез, Љ (2006). Математика 2. Запопан, Јалисцо: Едиционес Умбрал.
6. М., С. (1997). Тригонометрија и аналитичка геометрија. Пеарсон Едуцатион.
7. Перез, МА (2009). Историја математике: изазови и освајања кроз карактере. Уредничка визија Либрос.
8. Вилориа, Н., Леал, Ј. (2005). Равна аналитичка геометрија. Редакција Венезолана ЦА