ВАРИГНОНОВА ТЕОРЕМА: ПРИМЕРИ И РЕШЕНЕ ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Теорема Варигнон наводи да ако било кетвороугао су стално повезани средишта стране, паралелограм се генерише. Ову теорему је формулисао Пиерре Варигнон и објавио је 1731. године у књизи Елементи математике “.

Објављивање књиге десило се годинама након његове смрти. Пошто је Варигнон увео ову теорему, паралелограм је добио име по њему. Теорема је заснована на Еуклидовој геометрији и представља геометријске односе четверострана.

Шта је Варигнонова теорема?

Варигнон је изјавио да бројка која је дефинисана средњим тачкама четверострана увек ће резултирати паралелограмом, а површина паралелограма увек ће бити половина површине четверострана ако је равна и конвексна. На пример:

На слици можете видети четвеространик са површином Кс, где су средине тачака страна представљене Е, Ф, Г и Х и, када су спојене, формирају паралелограм. Подручје четверокута биће зброј подручја формираних троуглова, а половина тога одговара површини паралелограма.

Пошто је површина паралелограма половина површине четверострана, може се одредити обод тог паралелограма.

Дакле, обод је једнак збиру дужина дијагонала четверострана; то је због тога што ће медијани четверострана бити дијагонале паралелограма.

С друге стране, ако су дужине дијагонала четверострана потпуно исте, паралелограм ће бити ромб. На пример:

Из слике се види да се спајањем средњих страна страна четверокута добија ромб. С друге стране, ако су дијагонале четверокута правокутне, паралелограм ће бити правоугаоник.

Такође паралелограм ће бити квадрат када четверострани имају дијагонале једнаке дужине и оне су такође окомите.

Теорема се не испуњава само у равнинским четвеространама, већ се спроводи и у просторној геометрији или у великим димензијама; то јест у оним четверокутима који нису конвексни. Пример за то може бити октаедар, где су средња тачка центроиди сваког лица и формирају паралелепипед.

На тај се начин спајањем средишта различитих фигура могу добити паралелограми. Да ли је то заиста тачно да проверите да супротне стране морају бити паралелне када су продужене.

Примери

Први пример

Проширење супротних страна како би се показало да је паралелограм:

Други пример

Спајањем средњих тачака ромба добија се правоугаоник:

Теорем се користи у сједињењу тачака које се налазе на средини страна четверострана, а може се користити и за друге врсте тачака, као што су трисекција, пента-пресек или чак бесконачан број одсека ( нтх), како би се стране било ког четвеространика поделиле на пропорционалне сегменте.

Решене вежбе

Вежба 1

На слици имамо четверострани АБЦД подручја З, где су средине ове стране ПКСР. Проверите да ли је формиран Варигнонов паралелограм.

Решење

Може се видети да спајање ПКСР тачака формира Варигнонов паралелограм, управо зато што су у изјави дате средње тачке четверострана.

Да би се то показало, прво се придружују средњи тачки ПКСР, па се види да је формиран још један четвеространик. Да бисте доказали да је паралелограм, требате само повући равну линију од тачке Ц до тачке А, тако да се види да је ЦА паралелан ПК и РС.

На исти начин, када продужите стране ПКРС, види се да су ПК и РС паралелни, као што је приказано на следећој слици:

Вежба 2

Имамо правоугаоник такав да су дужине свих његових страна једнаке. Спајањем средњих тачака ових страна формира се ромб АБЦД, који је подељен са две дијагонале АЦ = 7цм и БД = 10цм, које се подударају са мерењима страна правоугаоника. Одредите подручја ромба и правоугаоника.

Решење

Сјећајући се да је површина резултирајућег паралелограма половина четверострана, површина њих се може одредити знајући да се мјера дијагонала подудара са страницама правоугаоника. Дакле, морате:

АБ = Д

ЦД = д

_{Правоугаоник} = (АБ _* ЦД) = (10цм _* 7цм) = 70цм ²

_Ромб = А _{правоугаоник} / 2

_Ромб = 70 цм ² /2 = 35 цм ²

Вежба 3

На слици је четвеространик који има заједницу тачака ЕФГХ, дате су дужине сегмената. Одредите да ли је унија ЕФГХ паралелограм.

АБ = 2,4 ЦГ = 3,06

ЕБ = 1,75 ГД = 2,24

БФ = 2,88 ДХ = 2,02

ХР = 3,94 ХА = 2,77

Решење

Како су дате дужине сегмената, може се проверити да ли постоји пропорционалност између сегмената; то јест, можете знати да ли су паралелни, односећи сегменте четверострана на следећи начин:

- АЕ / ЕБ = 2,4 / 1,75 = 1,37

- АХ / ХД = 2,77 / 2,02 = 1,37

- ЦФ / ФБ = 3,94 / 2,88 = 1,37

- ЦГ / ГД = 3,06 / 2,24 = 1,37

Тада се проверава пропорционалност, јер:

АЕ / ЕБ = АХ / ХД = ЦФ / ФБ = ЦГ / ГД

Слично томе, када се црта линија од тачке Б до тачке Д, може се видети да је ЕХ паралелан са БД, баш као што је БД паралелан са ФГ. Са друге стране, ЕФ је паралелан са ГХ.

Тако се може утврдити да је ЕФГХ паралелограм, јер су супротне стране паралелне.

Референце

1. Андрес, Т. (2010). Тресура математичке олимпијаде. Спрингер. Њу Јорк.
2. Барбоса, ЈЛ (2006). Равна еуклидска геометрија. СБМ. Рио де Жанеиро.
3. Ховар, Е. (1969). Студија геометрије. Мексико: латиноамерички.
4. Рамо, ГП (1998). Непозната решења проблема Фермат-Торрицелли. ИСБН - Самостални рад.
5. Вера, Ф. (1943). Елементи геометрије. Богота
6. Виллиерс, М. (1996). Неке авантуре у еуклидској геометрији. Јужна Африка.