БИНОМНА ТЕОРЕМА: ДОКАЗ И ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Бином теорема је једначина која нам говори како да развију израз облика (А + Б) ^н за неко природан број н. Бином је ништа више од зброја два елемента, попут (а + б). Такође нам омогућава да знамо за термин који даје ^к б ^н-к коефицијент који га прати.

Ова теорема се обично приписује енглеском проналазачу, физичару и математичару Сир Исаацу Невтону; Међутим, пронађени су разни записи који указују на то да је његово постојање већ било познато на Блиском Истоку, око 1000. године.

Комбинаторички бројеви

Биномна теорема нам математички каже сљедеће:

У овом изразу а и б су реални бројеви и н је природни број.

Пре него што представимо демонстрацију, погледајмо неке основне појмове који су неопходни.

Комбинаторички број или комбинације н у к су изражени на следећи начин:

Овај образац изражава вредност колико подскупова са к елементима може бити изабрано из низа н елемената. Његов алгебрични израз је дат:

Погледајмо пример: претпоставимо да имамо групу од седам лоптица, од којих су две црвене, а остале плаве.

Желимо знати на који начин их можемо организирати заредом. Један од начина би могао бити постављање два црвена на први и други положај, а остатак лопти на преостале положаје.

Слично као у претходном случају, и црвеним куглицама бисмо могли дати прву, односно последњу позицију, а остале заузети плавим куглицама.

Сада је ефикасан начин рачунања на колико начина можемо поредати куглице у низу користећи комбинаторичке бројеве. Сваку позицију можемо видети као елемент следећег скупа:

Затим остаје само да одаберете подскуп од два елемента, при чему сваки од тих елемената представља положај који ће заузети црвене куглице. Овај избор можемо донети у складу са односом који даје:

На овај начин, имамо 21 начин да се наруче ове куглице.

Општа идеја овог примера биће веома корисна у доказивању биномне теореме. Погледајмо одређени случај: ако је н = 4, имамо (а + б) ⁴ , што није ништа друго до:

Када развијемо овај производ, остаје нам зброј израза добијених множењем једног елемента сваког од четири фактора (а + б). Стога ћемо имати изразе који ће бити облика:

Ако смо хтели да добијемо појам у облику а ⁴ , једноставно морамо да помножимо на следећи начин:

Имајте на уму да постоји само један начин да се добије овај елемент; али шта се дешава ако сада потражимо термин форме а ² б ² ? Пошто су "а" и "б" стварни бројеви и, према томе, примењује се комутативни закон, имамо један од начина да добијемо овај термин да се множимо са члановима како су стрелице означене.

Извођење свих ових операција је обично помало заморно, али ако термин „а“ видимо као комбинацију у којој желимо знати на који начин можемо одабрати два „а“ из низа од четири фактора, можемо користити идеју из претходног примера. Дакле, имамо следеће:

Дакле, знамо да ћемо у коначном проширивању израза (а + б) ⁴ имати тачно 6а ² б ² . Користећи исту идеју за остале елементе, морате:

Затим додамо раније добијене изразе и имамо то:

Ово је формални доказ за општи случај где је "н" било који природни број.

Демонстрација

Имајте на уму да су појмови остављени експанзијом (а + б) ^н облика а ^к б ^н-к , где је к = 0,1, …, н. Користећи идеју из претходног примера, имамо начин да одаберемо «к» променљиве «а» фактора «н»:

Одабиром на овај начин, аутоматски бирамо нк варијабле "б". Из овога произлази да:

Примери

Имајући у виду (а + б) ⁵ , какав би био његов развој?

Према биномној теореми имамо:

Биномна теорема је врло корисна ако имамо израз у коме желимо да знамо шта је коефицијент одређеног појма, а да не морамо извршити потпуно ширење. Као пример можемо узети следећу непознаницу: који је коефицијент к ⁷ и ⁹ у експанзији на (к + и) ¹⁶ ?

Према биномној теореми имамо да је коефицијент:

Други пример би био: који је коефицијент к ⁵ и ⁸ у експанзији (3к-7и) ¹³ ?

Прво на практичан начин напишемо израз; ово је:

Затим, користећи биномну теорему, имамо да је тражени коефицијент кад имамо к = 5

Други пример употребе ове теореме је у доказивању неких заједничких идентитета, попут оних које ћемо даље поменути.

Идентитет 1

Ако је «н» природни број, имамо:

За доказ користимо биномну теорему, где и «а» и «б» узимају вредност 1. Тада имамо:

На овај начин смо доказали први идентитет.

Идентитет 2

Ако је "н" природни број, тада

Према биномној теореми имамо:

Још једна демонстрација

Можемо направити другачији доказ за биномну теорему користећи индуктивну методу и Пасцалов идентитет, који нам говори да су, ако су «н» и «к» позитивни цели бројеви који задовољавају н ≥ к, тада:

Индукцијски доказ

Погледајмо прво да индуктивна база држи. Ако је н = 1, имамо:

Заиста, видимо да је испуњено. А сада нека је н = ј такав:

Желимо да видимо да је за н = ј + 1 тачно да:

Дакле, морамо:

По хипотези знамо да:

Затим, користећи својство дистрибуције:

Након тога, развијајући сваки сажетак, добили смо:

Ако се групишемо на погодан начин, имамо то:

Користећи идентитет паскала, имамо:

За крај, имајте на уму да:

Стога видимо да биномна теорема важи за сва „н“ која припадају природним бројевима, а тиме се доказ и завршава.

Знатижеља

Комбинаторички број (нк) се такође назива биномни коефицијент, јер се тачно коефицијент појављује у развоју биномног (а + б) ^н .

Исаац Невтон дао је генерализацију ове теореме за случај у којем је експонент реални број; Ова теорема је позната као Невтонова биномна теорема.

Већ у давним временима овај резултат је био познат по одређеном случају у којем је н = 2. Овај случај се помиње у Еуклидовим елементима.

Референце

1. Јохнсонбаугх Рицхард. Дискретне математике. ПХХ
2. Кеннетх.Х. Росен, дискретна математика и њене апликације. САМЦГРАВ-ХИЛЛ / ИНТЕРАМЕРИЦАНА ДЕ ЕСПАНА.
3. Др Сеимоур Липсцхутз и Марц Липсон. Дискретне математике. МцГРАВ-ХИЛЛ.
4. Ралпх П. Грималди. Дискретна и комбинациона математика. Аддисон-Веслеи Ибероамерицана
5. Зелена звезда Луис. . Дискретна и комбинациона математичка антропоза