ДИСКРЕТНА ФОУРИЕРОВА ТРАНСФОРМАЦИЈА: СВОЈСТВА, АПЛИКАЦИЈЕ, ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Дискретна Фоуриер-ова трансформација је нумерички метод који се користи за дефинисање узорака које се односе на спектралних фреквенција које чине сигнал. Проучава периодичне функције у затвореним параметрима, што резултира додатним дискретним сигналом.

Да би се добила дискретна Фоуриерова трансформација Н тачака, на дискретном сигналу морају се испунити следећа два услова на низу к

ТДФ

Дискретна Фоуриерова трансформација може се дефинисати као Н-тачка узорковања Фоуриерове трансформације.

Тумачење дискретне Фоуриерове трансформације

Извор: Пекелс

Постоје две тачке гледишта са којих се резултати добијени на низу к _с могу интерпретирати кроз дискретну Фоуриерову трансформацију.

-Први одговара спектралним коефицијентима који су већ познати из Фоуриерове серије. Примећује се у дискретним периодичним сигналима, при чему се узорци подударају са редоследом к _с .

- Друга се бави спектром дискретног апериодног сигнала, са узорцима који одговарају секвенци к _с .

Дискретна трансформација је апроксимација спектра оригиналног аналогног сигнала. Његова фаза зависи од узорка, док величина зависи од интервала узорковања.

Својства

Алгебрични темељи структуре чине образложење за следеће одељке.

Линеарност

Ц. С _н → Ц. Ф; Ако је низ помножен скаларом, његова трансформација такође ће бити.

Т _н + В _н = Ф + Ф; Трансформација суме једнака је збиру трансформација.

Дуалност

Ф → (1 / Н) С _-к; Ако се дискретна Фоуриерова трансформација прерачуна у већ трансформисани израз, добије се исти израз, скалиран у Н и обрнут у односу на вертикалну ос.

Цонволуција

Слиједећи сличне циљеве као у Лапласовој трансформацији, савијање функција односи се на производ између њихових Фоуриерових трансформација. Конволуција се такође односи на дискретна времена и одговорна је за многе модерне поступке.

Кс _н * Р _н → Ф .Ф; Трансформација светења једнака је производу трансформација.

Кс _н . Р _н → Ф * Ф; Трансформација производа једнака је замотању трансформација.

премештај

Кс _н-м → Ф е ^{–и (2π / Н) км} ; Ако низ одложи м узорке, његов утицај на дискретну трансформацију биће модификација угла дефинисаног са (2π / Н) км.

Симетрија

Кс _т = Кс * _т = Кс _т

Модулација

Е ^-нм _Н . к ↔ Кс _т

Производ

ки ↔ (1 / Н) Кс _т * И _т

Симетрија

Кс ↔ Кс _т = Кс * _т

Цоњугате

к * ↔ Кс * _т

Парсевал једначина

У односу на конвенционалну Фоуриерову трансформацију, она има неколико сличности и разлика. Фоуриерова трансформација претвара низ у чврсту линију. На овај начин се каже да је резултат Фоуриерове променљиве сложена функција реалне променљиве.

За разлику од тога, дискретна Фоуриерова трансформација прима дискретни сигнал и претвара га у други дискретни сигнал, односно, низ.

Чему служи дискретна Фоуриерова трансформација?

Они служе превасходно за поједностављење једначина, претварајући изведене изразе у елементе моћи. Означавање диференцијалних израза у интеграбилним полиномним облицима.

У оптимизацији, модулацији и моделирању резултата делује као стандардизовани израз, што је чест ресурс за инжењеринг након неколико генерација.

Извор: пикабаи

Историја

Овај математички концепт је увео Јосепх Б. Фоуриер 1811. године, развијајући трактат о ширењу топлоте. Брзо су га усвојиле различите области науке и инжењерства.

Основан је као главно радно средство у проучавању једначина са делимичним дериватима, чак и упоређујући га са постојећим радним односом између Лапласове трансформације и обичних диференцијалних једначина.

Свака функција која се може радити с Фоуриеровом трансформацијом мора бити нулл изван дефинисаног параметра.

Дискретна Фоуриерова трансформација и њена инверзија

Дискретна трансформација се добија изразом:

Након што је дата дискретна секвенца Кс

Инверзија дискретне Фоуриерове трансформације је дефинисана кроз израз:

Обрнути ПТО

Једном када се постигне дискретна трансформација, она омогућава дефинисање секвенце у временској домени Кс.

Крилати

Процес параметризације који одговара дискретној Фоуриеровој трансформацији лежи у прозору. Да бисмо радили на трансформацији, морамо временски ограничити низ. У многим случајевима дотични сигнали немају та ограничења.

Секвенца која не испуњава критеријуме величине која се примењује на дискретну трансформацију може се множити функцијом "прозора" В, дефинишући понашање секвенце у контролисаном параметру.

ИКС. В

Ширина спектра зависиће од ширине прозора. Како се ширина прозора повећава, израчуната трансформација ће бити ужа.

Апликације

Прорачун основног решења

Дискретна Фоуриерова трансформација је моћан алат за проучавање дискретних низова.

Дискретан Фоуриер-ов трансформатор претвара континуирану променљиву функцију у дискретну променљиву трансформацију.

Проблем Кошија за једнаџбу топлоте представља често поље примене дискретне Фоуриерове трансформације . Тамо где се ствара основна функција топлотне или Дирицхлетове језгре, што се односи на вредности узорковања у дефинисаном параметру.

Теорија сигнала

Општи разлог за примену дискретне Фоуриерове трансформације у овој грани углавном је последица карактеристичног распадања сигнала као бесконачне суперпозиције лакше обрадивих сигнала.

То може бити звучни талас или електромагнетни талас, дискретна Фоуриерова трансформација изражава је у суперпозицији једноставних таласа. Ова заступљеност је прилично честа у електротехници.

Серија Фоуриер

Они су дефинисани у серији Цосинес и Синес. Они служе да олакшају рад са општим периодним функцијама. Када се примењују, они су део технике решавања обичних и парцијалних диференцијалних једначина.

Фоуриер-ове серије су чак и опћенитије од Таилор-ових серија, јер оне развијају периодичне дисконтинуиране функције које немају Таилор-ове серије.

Остали облици серије Фоуриер

Да бисмо аналитички разумели Фоуриерову трансформацију, важно је преиспитати остале начине на које се може наћи Фоуриерова серија, све док не можемо дефинирати Фоуриерову серију у њеној сложеној нотацији.

-Фоуриер серија о функцији периода 2Л:

Разматран је интервал који нуди предности када се искористе симетричне карактеристике функција.

Ако је ф парно, серија Фоуриер се успоставља као низ Козина.

Ако је ф непарно, серија Фоуриер се успоставља као низ Синес.

-Комплексна нота Фоуриер серије

Ако имамо функцију ф (т) која испуњава све захтеве Фоуриерове серије, могуће је означити је у интервалу коришћењем његове сложене нотације:

Примери

Што се тиче израчунавања основног решења, представљени су следећи примери:

С друге стране, следе примери примене дискретне Фоуриерове трансформације у пољу теоријске сигнале:

- Проблеми са идентификацијом система Основан ф и г

-Проблем са доследношћу излазног сигнала

-Проблеми са филтрирањем сигнала

Вежбе

Вежба 1

Израчунајте дискретну Фоуриерову трансформацију за следећу секвенцу.

ПТО од к можете дефинисати као:

Кс _т = {4, -ј2, 0, ј2} за к = 0, 1, 2, 3

Вежба 2

Желимо да одредимо спектрални сигнал дефинисан изразом к (т) = е ^-т путем дигиталног алгоритма . Где је максимални фреквенцијски коефицијент тражења ф _м = 1Хз. Хармоника одговара ф = 0,3 Хз. Грешка је ограничена на мање од 5%. Израчунајте ф _с , Д и Н.

Узимајући у обзир теорему узорковања ф _с = 2ф _м = 2 Хз

Одабрана је фреквенциона резолуција ф ₀ = 0,1 Хз, из које добијамо Д = 1 / 0,1 = 10с

0,3 Хз је фреквенција која одговара индексу к = 3, где је Н = 3 × 8 = 24 узорака. Означавајући да је ф _с = Н / Д = 24/10 = 2.4> 2

Како је циљ добити најмању могућу вредност за Н, следеће вредности се могу сматрати решењем:

ф ₀ = 0,3 Хз

Д = 1 / 0,3 = 3,33с

к = 1

Н = 1 × 8 = 8

Референце

1. Савладавање дискретне Фоуриерове трансформације у једној, две или више димензија: Замке и артефакти. Исаац Амидрор. Спрингер Сциенце & Бусинесс Медиа, 19. јула. 2013
2. ДФТ: Кориснички приручник за дискретну трансформацију Фоуриер-а. Виллиам Л. Бриггс, Ван Емден Хенсон. СИАМ, 1. јануара. деветнаест деведесет пет
3. Дигитална обрада сигнала: теорија и пракса. Д. Сундарарајан. Ворлд Сциентифиц, 2003
4. Трансформи и брзи алгоритми за анализу сигнала и репрезентације. Гуоан Би, Ионгхонг Зенг. Спрингер наука и пословни медији, 6. дец. 2012
5. Дискретне и континуиране Фуријеве трансформације: анализа, примене и брзи алгоритми. Елеанор Цху. ЦРЦ Пресс, 19. марта. 2008