ТРАПЕЗОИД СКАЛЕНА: СВОЈСТВА, ФОРМУЛЕ И ЈЕДНАЧИНЕ, ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Разнострани трапезоид је полигон са четири стране, од којих су два паралелна међусобно и са своје четири унутрашња угла различитих мера.

Четворострани АБЦД је приказан доле, где су стране АБ и ДЦ паралелне једна са другом. То је довољно да буде трапез, али и унутрашњи углови α, β, γ и δ су различити, па је трапезоид скаленски.

Слика 1. Четверострани АБЦД трапезоидан је условом 1 и скала условом 2. Извор: Ф. Запата.

Елементи трапезија скале

Ево најкарактеристичнијих елемената:

-Основе и странице: паралелне стране трапеза су његове основе, а две паралелне стране су странице.

Код скале трапезоидне основе су различите дужине и бочне. Међутим, трапезоид скале може имати бочну дужину једнаку бази.

-Медиан: је сегмент који се спаја са средњим тачкама бочних.

-Дијагонале: дијагонала трапеза је сегмент који спаја две супротне врхове. Трапез, као и сваки четверокут, има две дијагонале. У скале трапез су различите дужине.

Остали трапезоиди

Поред скале трапеза, постоје и други посебни трапезоиди: десни трапезоид и једнакостелесни трапез.

Трапез је правоугаоник када је један од његових углова прави, док једнак једнако трапез има странице једнаке дужине.

Трапезни облик има бројне примјене на нивоу дизајна и индустрије, попут конфигурације крила авиона, облика свакодневних предмета као што су столови, наслони столица, амбалажа, торбице, текстилни отисци и још много тога.

Слика 2. Трапезни облик је уобичајен у конфигурацији крила авиона. Извор: Викимедиа Цоммонс.

Својства

Својства скале трапеза наведена су у даљем тексту, од којих се многа протежу и на остале врсте трапеза. У даљем тексту, када се говори о „трапезу“, својство ће се применити на било коју врсту, укључујући скале.

1. Медијана трапеза, то јест сегмента који спаја средину његових непаралелних страна, паралелна је било којој од основа.

2. - Медијан трапеза има дужину која је половина дужине његових база и пресече дијагонале на средини.

3. - Дијагонале трапеза пресецају се у тачки која их дели на два дела која су пропорционална квоцијентима база.

4.- Збир квадрата дијагонала трапеза једнак је збиру квадрата његових страна плус дупли продукт његових основа.

5.- Сегмент који спаја средње тачке дијагонала има дужину једнаку половини разлике база.

6. - Углови поред бочних су додатни.

7.- У скале трапезу дужине његових дијагонала су различите.

8.- Трапез има уписани обим само ако је збир његових основа једнак збиру његових страна.

9.- Ако трапез има уписани обим, тада је угао са врхом у средини наведеног обима и странама које пролазе кроз крајеве бочне стране трапеза равна.

10.- Трапезоид скале нема ограничен обим, једина врста трапеза је изосцелес.

Формуле и једначине

Следећи односи скале трапеза односе се на следећу слику.

1.- Ако су АЕ = ЕД и БФ = ФЦ → ЕФ - АБ и ЕФ - ДЦ.

2.- ЕФ = (АБ + ДЦ) / 2 што је: м = (а + ц) / 2.

3. ДИ = ИБ = д ₁ /2 и АГ = ГЦ = д ₂ /2.

4.- ДЈ / ЈБ = (ц / а) слично ЦЈ / ЈА = (ц / а).

Слика 3. Медијан и дијагонала скале трапеза. Извор: Ф. Запата.

5.- ДБ ² + АЦ ² = АД ² + БЦ ² + 2 АБ ∙ ДЦ

Еквивалентно:

д ₁ ² + д ₂ ² = д ² + б ² + 2 а ∙ ц

6.- ГИ = (АБ - ДЦ) / 2

Односно:

н = (а - ц) / 2

7.- α + δ = 180⁰ и β + γ = 180⁰

8.- Ако је α = β = γ = δ, тада је д1 = д2.

9.- Слика 4 приказује скале трапез који има уписани обим, у овом случају је тачно да:

а + ц = д + б

10.- У скале трапез АБЦД са уписаним ободом центра О такође је тачно:

∡АОД = ∡БОЦ = 90⁰

Слика 4. Ако се у трапезу потврди да је збир његових база једнак збиру бочних, у њему је уписан обим. Извор: Ф. Запата.

Висина

Висина трапеза је дефинисана као сегмент који иде од тачке базе окомито на супротну базу (или њен продужетак).

Све висине трапеза имају исто мерење х, тако да се углавном висина речи односи на његово мерење. Укратко, висина је удаљеност или раздвајање између база.

Висина х може се одредити познавањем дужине једне стране и једног углова који се налази уз бок:

х = д Сен (α) = д Сен (γ) = б Сен (β) = б Сен (δ)

Медијан

Мера медијане трапеза м је полу-збир основа:

м = (а + б) / 2

Дијагонале

д ₁ = √

д ₂ = √

Такође се може израчунати ако је позната само дужина страна трапеза:

д ₁ = √

д ₂ = √

Периметар

Периметар је укупна дужина контуре, то јест збир свих његових страна:

П = а + б + ц + д

Подручје

Подручје трапеза је полузвод његових база помножен са његовом висином:

А = х ∙ (а + б) / 2

Може се израчунати и ако је позната средња м и висина х:

А = м ∙ х

Ако је позната само дужина страна трапеза, површина се може одредити помоћу Херонове формуле за трапез:

А = ∙ √

Где је с полупериметар: с = (а + б + ц + д) / 2.

Остали омјери за трапези скале

Пресјек медијале са дијагоналама и паралеле која пролази кроз пресек дијагонала ствара друге односе.

Слика 5. Остали односи скале трапезија. Извор: Ф. Запата.

- Односи за средњи ЕФ

ЕФ = (а + ц) / 2; ЕГ = ИФ = ц / 2; ЕИ = ГФ = а / 2

- Односи за сегмент паралелни са базама КЛ и пролазе кроз пресек Ј тачке дијагонала

Ако је КЛ - АБ - ДЦ са Ј ∈ КЛ, тада је КЈ = ЈЛ = (а ∙ ц) / (а + ц)

Изградња скале трапез са владаром и компасом

С обзиром на основе дужина а и ц, где а> ци са страницама дужина б и д, где је б> д, наставите следећи ове кораке (видети слику 6):

1.- Правилом се извлачи сегмент главне АБ.

2.- Од А се и на АБ означити тачка П, тако да је АП = ц.

3. - Са компасом са средиштем у П и полумјером д нацртан је лук.

4.- Направљено је средиште на Б са полумјером б, цртање лука који пресреће лук извучен у претходном кораку. К називамо тачком пресека.

Слика 6. Конструкција скале трапеза са својих бочних страна. Извор: Ф. Запата.

5.- На средини на А нацртајте лук полупречника д.

6. - Средиштем на К нацртајте лук полупречника ц који пресреће лук извучен у претходном кораку. Тачка пресека ће се звати Р.

7.- Сегменти БК, КР и РА се цртају са равналом.

8.- Четворострани АБКР је скале трапез, јер је АПКР паралелограм, што гарантује да је АБ - КР.

Пример

Следеће дужине су дате у цм: 7, 3, 4 и 6.

а) Утврдите да ли је с њима могуће конструирати скале трапез који може заокружити круг.

б) Пронађите обод, површину, дужину дијагонала и висину трапеза, као и полумјер уписаног круга.

- Решење за

Користећи сегменте дужине 7 и 3 као основице и дужине 4 и 6 као стране, скалирани трапез може се конструисати користећи поступак описан у претходном одељку.

Остаје да проверимо да ли има уписани обим, али упамћујући некретнину (9):

То ефективно видимо:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Тада је задовољено стање постојања уписаног обима.

- Решење б

Периметар

Периметар П се добија додавањем страница. Пошто базе носе до 10, а бочне такође, обод је:

П = 20 цм

Подручје

За одређивање подручја, познате само његове стране, примењује се однос:

А = ∙ √

Где је полупериметар с:

с = (а + б + ц + д) / 2.

У нашем случају, полупериметар вреди с = 10 цм. Након замјене одговарајућих вриједности:

а = 7 цм; б = 6 цм; ц = 3 цм; д = 4 цм

Остаци:

А = √ = (5/2) √63 = 19,84 цм².

Висина

Висина х повезана је са површином А следећим изразом:

А = (а + ц) ∙ х / 2, из кога се висина може добити очишћавањем:

х = 2А / (а + ц) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 цм.

Полумјер уписаног круга

Полумјер уписаног круга је једнак половини висине:

р = х / 2 = 1.984 цм

Дијагонале

Коначно проналазимо дужину дијагонала:

д ₁ = √

д ₂ = √

Правилно замењивање вредности које имамо:

д ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

д ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

То јест: д ₁ = 4,69 цм и д ₂ = 8,49 цм

Слика 7. Сцалене трапез који испуњава услов постојања уписаног обима. Извор: Ф. Запата.

Вежба решена

Одредите унутрашње углове трапеза са базама АБ = а = 7, ЦД = ц = 3 и бочним угловима БЦ = б = 6, ДА = д = 4.

Решење

Теорема косинуса може се применити за одређивање углова. На пример, угао ∠А = α одређује се из троугла АБД са АБ = а = 7, БД = д2 = 8,49 и ДА = д = 4.

Теорема косинуса која је примењена на овај троугао изгледа овако:

д ₂ ² = а ² + д ² - 2 ∙ а ∙ д ∙ Цос (α), то јест:

72 = 49 + 16-56 ∙ Цос (α).

Решавајући за, косинус угла α добија се:

Цос (α) = -1/8

То јест, α = АрцЦос (-1/8) = 97,18⁰.

Остали углови се добијају на исти начин, а њихове вредности су:

β = 41,41 °; γ = 138,59⁰ и на крају δ = 82,82⁰.

Референце

1. ЦЕА (2003). Елементи геометрије: са вежбама и компасом. Универзитет у Меделину.
2. Цампос, Ф., Церецедо, ФЈ (2014). Математика 2. Групо Редакција Патриа.
3. Фреед, К. (2007). Откријте полигоне. Бенцхмарк Едуцатион Цомпани.
4. Хендрик, В. (2013). Генерализовани полигони. Биркхаусер.
5. ИГЕР. (сф) Математика први семестар Тацана. ИГЕР.
6. Јр. геометри (2014). Полигони. Лулу Пресс, Инц.
7. Миллер, Хеерен и Хорнсби. (2006). Математика: Образложење и апликације (десето издање). Пеарсон Едуцатион.
8. Патино, М. (2006). Математика 5. Уреднички зборник.
9. Википедиа. Трапез. Опоравак од: ес.википедиа.цом