ТРАПЕЗОИД ИЗОСЦЕЛЕ: СВОЈСТВА, ОДНОСИ И ФОРМУЛЕ, ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Једнакокраки трапез је кетвороугао у коме су два страна међусобно паралелне и поред тога, два угла поред један од тих паралелних страна има исту меру.

На слици 1 имамо четверострани АБЦД, у коме су странице АД и БЦ паралелне. Поред тога, углови ∠ДАБ и ∠АДЦ поред паралелне стране АД имају исту меру α.

Слика 1. Исосцелес трапезиум. Извор: Ф. Запата.

Дакле, овај четверострани, или четверострани полигон, је у ствари изосцелес трапез.

У трапезу се паралелне стране називају базе, а паралелне стране називају се бочне. Друга важна карактеристика је висина, односно раздаљина која раздваја паралелне стране.

Поред исосцелес трапеза, постоје и друге врсте трапеза:

-Т рапезоидна скала, која има све своје углове и различите стране.

- Правоугаони рапезоид, у којем једна страна има праве суседне углове.

Трапезни облик је чест у различитим областима дизајна, архитектуре, електронике, прорачуна и многим другим, као што ћемо видети касније. Отуда је важност упознавања са његовим својствима.

Својства

Искључиво за изосцелес трапезоид

Ако је трапез исосцелес, онда има следећа карактеристична својства:

1.- Стране имају исто мерење.

2. - Углови поред базе су једнаки.

3.- Супротни углови су допунски.

4. - Дијагонале имају исту дужину, два сегмента који се спајају са супротним врховима су иста.

5.- Угао формиран између база и дијагонала сви су исте мере.

6.- Има ограничен обим.

Супротно томе, ако трапезоид задовољава неко од горе наведених својстава, онда је то једнаки осмерок трапез.

Ако је у трапезу изоосле један од углова тачан (90 °), онда ће и сви остали углови бити прави, формирајући правоугаоник. Односно, правоугаоник је посебан случај трапезоидног изоосцела.

Слика 2. Контејнер са кокицама и школски столови обликовани су као једнаки осорни трапез. Извор: Пкфуел (лево) / МцДовелл Цраиг преко Флицкр-а. (јел тако)

За све трапезе

Следећи скуп својстава важи за било који трапез:

7. - Медијан трапеза, то јест сегмента који спаја средину његових непаралелних страна, паралелан је било којој од основа.

8.- Дужина медијане једнака је полукругу (збир дељеном са 2) дужине његових база.

9. - Медијана трапеза пресече дијагонале у средини.

10. - Дијагонале трапеза пресецају се у тачки која их дели на два дела пропорционална квоцијентима база.

11.- Збир квадрата дијагонала трапеза једнак је збиру квадрата његових страна плус дупли продукт његових основа.

12.- Сегмент који се спаја са средњим тачкама дијагонала има дужину једнаку полу-разлици база.

13.- Углови који се налазе уз бочне стране су додатни.

14.- Трапез има уписан обим ако и само ако је збир његових основа једнак збиру његових страна.

15.- Ако трапез има уписани обим, тада су углови са врхом у средини поменутог обима и странице које пролазе кроз крајеве исте стране су прави углови.

Односи и формуле

Сљедећи скуп односа и формула дат је на слици 3, гдје су поред исосцелес трапеза приказани и други важни сегменти, као што су дијагонала, висина и медијан.

Слика 3. Медијана, дијагонале, висина и обрисе опсега у једнакомерном трапезу. Извор: Ф. Запата.

Јединствени односи исосцелес трапезија

1.- АБ = ДЦ = ц = д

2.- ∡ДАБ = ∡ЦДА и ∡АБЦ = ∡БЦД

3.- ∡ДАБ + ∡БЦД = 180º и ∡ЦДА + ∡АБЦ = 180º

4.- БД = АЦ

5.- ∡ЦАД = ∡БДА = ∡ЦБД = ∡БЦА = α ₁

6.- А, Б, Ц и Д припадају описаном кругу.

Односи за било који трапез

1. Ако су АК = КБ и ДЛ = ЛЦ ⇒ КЛ - АД и КЛ - БЦ

8.- КЛ = (АД + БЦ) / 2

9. АМ = МЦ = АЦ / 2 и ДН = НБ = ДБ / 2

10.- АО / ОЦ = АД / БЦ и ДО / ОБ = АД / БЦ

11.- АЦ ² + ДБ ² = АБ ² + ДЦ ² + 2⋅АД⋅БЦ

12.- МН = (АД - БЦ) / 2

13.- ∡ДАБ + ∡АБЦ = 180º и ∡ЦДА + ∡БЦД = 180º

14.- Ако је АД + БЦ = АБ + ДЦ ⇒ ∃ Р од једнаке удаљености од АД, БЦ, АБ и ДЦ

15.- Ако је Р једнак од АД, БЦ, АБ и ДЦ, тада:

∡БРА = ∡ДРЦ = 90º

Односи за исосцелес трапезијум са уписаним ободом

Ако је у једнакомерном трапезу збир основа једнак двоструко бочној, тада уписани круг постоји.

Слика 4. Трапез са уписаним ободом. Извор: Ф. Запата.

Следећа својства примењују се када једнаки осмерокожни трапез има уписани обим (види слику 4 горе):

16.- КЛ = АБ = ДЦ = (АД + БЦ) / 2

17.- Дијагонале се пресијецају под правим углом: АЦ ⊥ БД

18.- Висина је иста као средња: ХФ = КЛ, то јест, х = м.

19.- Квадрат висине једнак је производу основа: х ² = БЦ⋅АД

20.- У овим специфичним условима површина трапеза је једнака квадратури висине или производу базе: Површина = х ² = БЦ⋅АД.

Формуле за одређивање једне стране, познавање других и угао

Познавајући базу, бочни и угаони, друга основа се може одредити:

а = б + 2ц Цос α

б = а - 2ц Цос α

Ако се дужина база и угао дају као познати подаци, тада су дужине обе стране следеће:

ц = (а - б) / (2 Цос α)

Одређивање једне стране, познавање других и дијагонала

а = (д ₁ ² - ц ² ) / б;

б = (д ₁ ² - ц ² ) / а

ц = √ (д ₁ ² - а⋅б)

Где је д ₁ дужина дијагонала.

Подножје са висине, површине и друге базе

а = (2 А) / х - б

б = (2 А) / х - а

Познате бочне основе, површина и угао

ц = (2А) /

Позната бочна средња средина, подручје и угао

ц = А / (м син α)

Позната висина страна

х = √

Позната висина угао и две стране

х = тг α⋅ (а - б) / 2 = ц. син α

Дијагонале су познате са свих страна, или са две стране и са углом

д ₁ = √ (ц ² + аб)

д ₁ = √ (а ² + ц ² - 2 ац Цос α)

д ₁ = √ (б ² + ц ² - 2 бц Цос β)

Периметар једнакокрачног троугла

П = а + б + 2ц

Подручје изосцелес трапезија

Постоји неколико формула за израчунавање површине, зависно од познатих података. Следеће је најпознатије, зависно од основе и висине:

А = х⋅ (а + б) / 2

А можете користити и ове друге:

-Ако су стране познате

А = √

-Када имате две стране и угао

А = (б + ц Цос α) ц Сен α = (а - ц Цос α) ц Сен α

-Ако су познати радијус уписаног круга и угао

А = 4 р ² / Сен α = 4 р ² / Сен β

-Када су познати базе и угао

А = а⋅б / Сен α = а⋅б / Сен β

-Ако се на трапезу може уписати обим

А = ц⋅√ (а⋅б) = м⋅√ (а⋅б) = р⋅ (а + б) / 2

-Знајте дијагонале и угао који формирају једна са другом

А = (д ₁ ² /2) γ = Сен (д ₁ ² /2) С Сен

-Када имате бочни, средњи и угао

А = мц.сен α = мц.сен β

Полумјер описаног круга

Само трапезоиди исосцелес имају ограничен обим. Ако _{су позната} већа база а, бочни ц и дијагонала д ₁ , тада је полупречник Р кружнице која пролази кроз четири врха трапеза:

Р = а⋅ц⋅д ₁ / 4√

Где је п = (а + ц + д ₁ ) / 2

Примери употребе исосцелес трапеза

Трапезоид изосала се појављује у пољу дизајна, као што је приказано на слици 2. И ево неколико додатних примера:

У архитектури и грађевинарству

Стари Инки познавали су трапезоид исосцеле и користили су га као грађевински елемент у овом прозору у Кузку, Перу:

Слика 5. Трапезоидни прозор Цорицанцха, Кузко. Извор: Викимедиа Цоммонс.

И ту се трапез поново појављује у такозваном трапезном листу, материјалу који се често користи у изградњи:

Слика 6. Трапезни метални лим привремено штити прозоре зграде. Извор: Викимедиа Цоммонс.

У дизајну

Већ смо видели да се једнаки трапезоиди појављују у свакодневним предметима, укључујући храну попут ове чоколадице:

Слика 7. Чоколадица чија су лица обликована као једнаки једнаки трапез. Извор: Пкфуел.

Решене вежбе

- Вежба 1

Трапезоид исосцелес има базу већу од 9 цм, базу мању од 3 цм и дијагонале 8 цм. Израчунајте:

а) страна

б) Висина

ц) Периметар

д) Подручје

Слика 8. Схема вежбе 1. Извор: Ф. Запата

Решење за

Висина ЦП = х је приказана, где стопа висине одређује сегменте:

ПД = к = (аб) / 2 г

АП = а - к = а - а / 2 + б / 2 = (а + б) / 2.

Користећи питагорејску теорему за прави троугао ДПЦ:

ц ² = х ² + (а - б) ² /4

А такође на десни троугао АПЦ:

д ² = х ² + АП ² = х ² + (а + б) ² /4

Коначно, члан по члану се одузима, друга једначина од првог и поједностављена:

д ² - ц ² = ¼ = ¼

д ² - ц ² = ¼ = аб

ц ² = д ² - аб ⇒ ц = √ (д ² - аб) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 цм

Решење б

х ² = д ² - (а + б) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ² ) = 8 ² - 6 ² = 28

х = 2 √7 = 5,29 цм

Решење ц

Периметар = а + б + 2 ц = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 цм

Решење д

Површина = х (а + б) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 цм

- Вежба 2

Постоји једнаки истрошни трапез, чија је већа основа двоструко мања, а његова мања база једнака је висини, која износи 6 цм. Одлучити:

а) Дужина бочне стране

б) Периметар

ц) Подручје

д) углови

Слика 8. Шема за вежбу 2. Извор: Ф. Запата

Решење за

Подаци: а = 12, б = а / 2 = 6 и х = б = 6

Настављамо на следећи начин: цртамо висину х и примењујемо питагорејску теорему на троугао хипотенузе «ц» и ноге х и к:

ц ² = х ² + кц ²

Тада морате израчунати вредност висине из података (х = б) и висине крака к:

а = б + 2 к ⇒ к = (аб) / 2

Замјеном претходних израза имамо:

ц ² = б ² + (аб) ² /2 ²

Сада су уведене нумеричке вредности и поједностављене су:

ц ² = 62+ (12-6) 2/4

ц ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Прибављање:

ц = 3√5 = 6,71 цм

Решење б

Периметар П = а + б + 2 ц

П = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 цм

Решење ц

Подручје у зависности од висине и дужине базе је:

А = х⋅ (а + б) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 цм ²

Решење д

Угао α који бочни облик формира са већом основом добија се тригонометријом:

Тан (α) = х / к = 6/3 = 2

α = АрцТан (2) = 63,44º

Други угао, онај који формира бочно с мањом базом је β, који је допунски за α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Референце

1. ЕА 2003. Елементи геометрије: са вежбама и геометријом компаса. Универзитет у Меделину.
2. Цампос, Ф. 2014. Математика 2. Групо едитор Патриа.
3. Фреед, К. 2007. Откријте полигоне. Бенцхмарк Едуцатион Цомпани.
4. Хендрик, В. 2013. Генерализовани полигони. Биркхаусер.
5. ИГЕР. Математика први семестар Тацана. ИГЕР.
6. Јр. геометри 2014. Полигони. Лулу Пресс, Инц.
7. Миллер, Хеерен и Хорнсби. 2006. Математика: разум и примјене. 10тх. Едитион. Пеарсон Едуцатион.
8. Патино, М. 2006. Математика 5. Уреднички прогресо.
9. Википедиа. Трапез. Опоравак од: ес.википедиа.цом