ПРАВИ ТРАПЕЗ: СВОЈСТВА, ОДНОСИ И ФОРМУЛЕ, ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Право трапезоид је равна фигура са четири стране, тако да две од њих су међусобно паралелне, називају база и један од осталих страна је управно на базама.

Из тог разлога, два унутрашња угла су тачна, односно мере 90 °. Отуда и назив „правоугаоник“ који је дат слици. Следећа слика десног трапеза разјашњава ове карактеристике:

Трапезни елементи

Елементи трапеза су:

-Бази

-Вертицес

-Високо

-Унутарњи углови

-Средња база

-Дијагонале

Детаље ћемо објаснити помоћу елемената 1 и 2:

Слика 1. Десни трапез, за ​​који је карактеристично да има два унутрашња угла 90 °: А и Б. Извор: Ф. Запата.

Бочне стране десног трапеза означене су малим словима а, б, ц и д. Кутови фигуре или врхови су означени великим словима. Коначно, унутрашњи углови су изражени грчким словима.

Према дефиницији, основе овог трапеза су странице а и б, које су, као што је посматрано, паралелне и такође имају различите дужине.

Бочна окомита на обе базе је страна ц лево, што је висина х трапеза. И на крају, постоји страна д, која са стране а формира акутни угао α.

Збир унутрашњих углова четверокута је 360 °. Лако је видети да недостаје угао Ц на слици 180 - α.

Медијана основа је сегмент који спаја средину тачака не-паралелних страна (сегмент ЕФ на слици 2).

Слика 2. Елементи десног трапеза. Извор: Ф. Запата.

И на крају су дијагонале д ₁ и д ₂ , сегменти који се спајају са супротним врховима и који се пресијецају у тачки О (види слику 2).

Односи и формуле

Висина трапеза х

Периметар П

То је мера контуре и израчунава се сабирањем страна:

Питагорејска теорема је страна д изражена изразом висине или стране ц:

Замјена у ободу:

Средња база

То је полу-збир основа:

Понекад се средња база нађе изражена овако:

Подручје

Подручје А трапеза је продукт средње базе пута висине:

Дијагонале, странице и углови

На слици 2 појављује се неколико троуглова, и десни и не исправни. Питагорејска теорема може се применити на оне који су прави троуглови и на оне који нису, теореме косинуса и синуса.

На тај начин се проналазе односи између страна и између страна и унутрашњих углова трапеза.

ЦПА троугао

То је правоугаоник, ноге су једнаке и вреде б, док је хипотенуза дијагонала д ₁ , дакле:

ДАБ троугао

То је такође правоугаоник, ноге су а и ц (или такође аих), а хипотенуза је д ₂ , тако да:

ЦДА троугао

Како овај троугао није прави троугао, на њега се примењује косинусна теорема или такође синусна теорема.

Према косм теорему:

ЦДП троугао

Овај троугао је прави троугао и са његовим странама се граде тригонометријски односи угла α:

Али страна ПД = а - б, дакле:

Такође имате:

ЦБД троугао

У овом троуглу имамо угао чија је вршна вредност на Ц. Није означен на слици, али на почетку је било истакнуто да је 180 - α. Овај троугао није прави троугао, па се може применити косинусна теорема или синусна теорема.

Сада се лако може показати да:

Примјена теореме косинуса:

Примери правих трапеза

Трапезоиди и нарочито десни трапезоиди налазе се на више страна, а понекад и не увек у опипљивом облику. Овде имамо неколико примера:

Трапез као елемент дизајна

Геометријске фигуре обилују архитектуром многих зграда, попут ове цркве у Њујорку, која показује конструкцију у облику правоугаоног трапеза.

Слично томе, трапезоидни облик је чест у дизајнирању посуда, контејнера, сечива (сечења или тачних), тањира и у графичком дизајну.

Слика 3. Анђео унутар трапеза правоугаоника у њујоршкој цркви. Извор: Давид Гоехринг преко Флицкр-а.

Генератор трапезних таласа

Електрични сигнали не могу бити само квадратни, синусоидни или троугласти. Постоје и трапезоидни сигнали који су корисни у многим круговима. На слици 4 налази се трапезоидни сигнал састављен од два десна трапеза. Између њих формирају јединствени једнаки осорни трапез.

Слика 4. Трапезни сигнал. Извор: Викимедиа Цоммонс.

У нумеричком прорачуну

Да у нумеричком облику израчунамо дефинитивни интеграл функције ф (к) између а и б, користимо правило трапеза да приближимо површину испод графа ф (к). На следећој слици лево је интеграл приближан једним десним трапезом.

Боља апроксимација је она на десној слици, са више десних трапеза.

Слика 5. Одређени интеграл између а и б није ништа друго до подручје испод кривуље ф (к) између ових вриједности. Прави трапез може послужити као прва апроксимација за такво подручје, али што се више трапеза користи, то је и боље приближавање. Извор: Викимедиа Цоммонс.

Греда са трапезним оптерећењем

Силе нису увек концентрисане на једној тачки, јер тела на која делују имају приметне димензије. Такав је случај моста преко којег возила непрекидно круже, вода из базена на њеним вертикалним зидовима или кров на коме се накупља вода или снег.

Из тог разлога, снаге се распоређују по јединици дужине, површине или запремине, зависно од тела на које делују.

У случају снопа, сила распоређена по јединици дужине може имати различите дистрибуције, на пример десни трапез приказан доле:

Слика 6. Оптерећења на греду. Извор: Бедфорд, А. 1996. Статиц. Аддисон Веслеи Интерамерицана.

У стварности, дистрибуције не одговарају увек правилним геометријским облицима попут ове, али могу бити добра апроксимација у многим случајевима.

Као средство образовања и учења

Блокови и слике геометријског облика, укључујући трапезе, од велике су помоћи у упознавању деце са фасцинантним светом геометрије од ране доби.

Слика 7. Блокови једноставних геометријских облика. Колико правих трапеза је скривено у блоковима? Извор: Викимедиа Цоммонс.

Решене вежбе

- Вежба 1

У десном трапезу на слици 1, већа основа је 50 цм, а мања база једнака 30 цм, познато је и да је коса страна 35 цм. Пронађи:

а) Угао α

б) Висина

ц) Периметар

д) просечна основица

е) Подручје

ф) Дијагонале

Решење за

Подаци износа сумирани су на следећи начин:

а = већа основа = 50 цм

б = мања основа = 30 цм

д = нагибна страна = 35 цм

Да бисмо пронашли угао α посетимо одељак формула и једначина да видимо који је најприкладнији за дате податке. Тражени угао налазимо у неколико анализираних троуглова, на пример ЦДП.

Тамо имамо ову формулу која садржи непознато и такође податке које знамо:

Тако:

Чисти х:

д ₁ ² = 2 к (30 цм) ² = 1800 цм ²

д ₁ = √1800 цм ² = 42,42 цм

А за дијагоналу д ₂ :

Референце

1. Балдор, А. 2004. Геометрија равнине и простора са тригонометријом. Културне публикације.
2. Бедфорд, А. 1996. Статика. Аддисон Веслеи Интерамерицана.
3. Јр. геометри 2014. Полигони. Лулу Пресс, Инц.
4. ОнлинеМСцхоол. Правокутни трапез. Опоравак од: ес.онлинемсцхоол.цом.
5. Аутоматско решавање проблема геометрије. Трапез. Опоравак од: сцуолаелеттрица.ит
6. Википедиа. Трапез (геометрија). Опоравак од: ес.википедиа.орг.