ИЗОСЦЕЛЕС ТРОУГАО: КАРАКТЕРИСТИКЕ, ФОРМУЛА И ПОВРШИНА, ПРОРАЧУН - МАТХС - 2025

Једнакокраки троугао је полигон са три стране, где њих двојица имају исту мјеру и трећу страну друга мера. Последња страна назива се база. Због ове карактеристике добио је ово име, што на грчком значи „једнаке ноге“

Троуглови су полигони који се сматрају најједноставнијим у геометрији, јер су сачињени од три стране, три угла и три врха. Они имају најмањи број страна и углова у односу на остале полигоне, међутим њихова употреба је веома обимна.

Карактеристике изосцелес троуглова

Изоцелесни троугао класификован је коришћењем мере његових страна као параметра, пошто су две његове стране једнаке (имају исту дужину).

На основу амплитуде унутрашњих углова, изоскели троуглови су класификовани као:

• Прави троугао изосцеле : две његове стране су једнаке. Један угао је раван (90 ^или ), а остали су исти (45 ^или сваки)
• Изосцеле затрпан троугао : две његове стране су једнаке. Један од углова је нејасан (> 90 ^или ).
• Акутни троугао изосцеле : две његове стране су једнаке. Сви углови су акутни (<90 ^или ) где оба имају исту меру.

Компоненте

• Медијана : то је линија која почиње од средине једне стране и достиже супротни врх. Тројица медијана састају се у тачки која се зове барицентар или центроид.
• Бисектор : то је зрака која дели угао сваке врхове на два угла једнаке мере. Зато је позната и као симетрија осе, а ова врста троугла има само један.
• Бисектор : то је сегмент окомит на страну троугла, који има порекло у средини. Постоје три медијатора у троуглу и састају се у тачки која се зове ободни центар.
• Висина : то је линија која иде од вертекса у страну која је супротна а такође је та линија окомита на ту страну. Сви троуглови имају три висине које се поклапају у тачки која се зове ортоцентар.

Својства

Изостелесни троуглови су дефинисани или идентификовани јер имају неколико својстава која их представљају, потичући из теорема које су предложили велики математичари:

Унутрашњи углови

Збир унутрашњих углова увек је једнак 180 ^° .

Збир страна

Збир мера две стране увек мора бити већи од мере треће стране, а + б> ц.

Конгресне стране

Изостелесни троуглови имају две стране са истом мером или дужином; то јест, они су у складу и трећа страна је другачија од ове.

Конгруентни углови

Изостелесни троуглови познати су и као троуглови из троугла, јер имају два угла која имају исту меру (конгруентна). Налазе се у дну троугла, насупрот странама исте дужине.

Због тога је створена теорема која каже да:

"Ако троугао има две конгруентне стране, углови насупрот тим странама такође ће бити једнаки." Стога, ако је троугао изосцелес, углови његових база су конгруентни.

Пример:

Следећа слика приказује троугао АБЦ. Цртањем свог бисектора од врха угла Б до основице, троугао је подељен на два једнака троугла БДА и БДЦ:

На овај начин је подељен и угао вертикале Б на два једнака угла. Бисектор је сада заједничка страна (БД) између та два нова троугла, док су стране АБ и БЦ сукладне стране. Стога имамо случај бочне, угаоне, бочне (ЛАЛ) конгруенције.

То показује да углови врхова А и Ц имају исту меру, као и да се може показати да пошто су троуглови БДА и БДЦ једнаки, странице АД и ДЦ су такође једнаке.

Висина, медијан, бисектор и бисектор су подударни

Линија која је повучена од врха супротног од основице до средине тачке изосоцелесног троугла истовремено је висина, медијан и бисектор, као и бисектор у односу на супротан угао базе.

Сви сегменти се подударају у оном који их представља.

Пример:

Следећа слика приказује троугао АБЦ са средњом тачком М која базу дели на два сегмента БМ и ЦМ.

Цртањем сегмента од тачке М до супротне верзије, дефиницијом се добија средња АМ која је у односу на врх А и страну БЦ.

Како сегмент АМ дели троугао АБЦ на два једнака троугла АМБ и АМЦ, то значи да ће бити случај конгруенције стране, угла, стране и стога ће АМ бити и бисектор БАЦ.

Према томе, бисектор ће увек бити једнак средњем и обрнуто.

Сегмент АМ формира углове који имају исту меру за троуглове АМБ и АМЦ; то јест, они су допунски на такав начин да ће мера сваког од њих бити:

Мед. (АМБ) + Мед. (АМЦ) = 180 ^или

2 _* Мед. (АМЦ) = 180 ^или

Мед. (АМЦ) = 180 ^или ÷ 2

Мед. (АМЦ) = 90 ^или

Може се знати да су углови формирани одсеком АМ у односу на базу троугла тачни, што указује да је овај сегмент тотално окомит на базу.

Стога представља висину и бисектор, знајући да је М средња тачка.

Стога линија АМ:

• Представља на висини пне.
• Је средње величине.
• Садржан је унутар бисектора БЦ.
• То је бисектор вертикалног угла А

Релативне висине

Висине које су у односу на једнаке стране имају исто мерење.

Пошто изосоцелесни троугао има две једнаке стране, њихове две одговарајуће висине такође ће бити једнаке.

Ортоцентар, барицентар, подстицај и подударни обилазник

Како су висина, средња вредност, бисектор и бисектор у односу на базу истовремено представљени истим сегментом, ортоцентар, средњи барицентар и цирцентар ће бити колинеарне тачке, односно биће на истој линији:

Како израчунати обод?

Периметар полигона се израчунава додавањем страница.

Како у овом случају изостекуларни троугао има две стране истом мером, његов се обод израчунава следећом формулом:

П = 2 _* (страна а) + (страна б).

Како израчунати висину?

Висина је линија окомита на базу, она трокут дели на два једнака дела док се протеже до супротног века.

Висина представља супротну ногу (а), средина основе (б / 2) суседне ноге, а страна „а“ представља хипотенузу.

Користећи питагорејску теорему, вредност висине може се утврдити:

а ² + б ² = ц ²

Где:

а ² = висина (х).

б ² = б / 2.

ц ² = страна а.

Подизањем ових вредности у питагорејску теорему и решавањем висине, имамо:

х ² + (б / 2) ² = а ²

х ² + б ² /4 = а ²

х ² = а ² - б ² /4

х = √ (а ² - б ² /4).

Ако је познат угао формиран од стране спојених страна, висина се може израчунати следећом формулом:

Како израчунати површину?

Површина троугла увек се израчунава истом формулом, множење основе по висини и дељење са два:

Постоје случајеви када су позната само мерења двеју страна троугла и угла који се формирају између њих. У овом случају, за одређивање подручја потребно је примијенити тригонометријске омјере:

Како израчунати базу троугла?

Пошто изосцелесни троугао има две једнаке стране, да бисте одредили вредност његове основе, морате знати барем меру висине или један од његових углова.

Знајући висину, користи се питагорејска теорема:

а ² + б ² = ц ²

Где:

а ² = висина (х).

ц ² = страна а.

б ² = б / 2, није познато.

Из формуле изолујемо б ² и имамо:

б ² = а ² - ц ²

б = √ а ² - ц ²

Пошто ова вредност одговара половини базе, мора се помножити са два да би се добила комплетна мера оснокутног троугла:

б = 2 _* (√ а ² - ц ² )

У случају да су познате само вредности његових једнаких страна и угао између њих, примењује се тригонометрија, цртајући линију од врха до основице која дели једнакокрачни троугао на два права троугла.

На овај начин половица основице се израчунава са:

Такође је могуће да су познате само вредности висине и угла врха који су супротни бази. У том случају се помоћу тригонометрије база може утврдити:

Вежбе

Прва вежба

Пронађите подручје једнакокрачног троугла АБЦ, знајући да су његове две стране 10 цм, а трећа страна 12 цм.

Решење

Да би се пронашла површина троугла, потребно је израчунати висину помоћу формуле подручја која је повезана са питагорејском теоремом, јер вредност угла формираног између једнаких страна није позната.

Имамо следеће податке о троуглу исосцелес:

• Једнаке стране (а) = 10 цм.
• База (б) = 12 цм.

Вредности су супституисане у формули:

Друга вежба

Дужина две једнаке стране троугла исосцелес је 42 цм, сједињење тих страна чини угао од 130 ^или . Одредите вредност треће стране, површину тог троугла и обод.

Решење

У овом случају су позната мерења страна и угла између њих.

Да би се знала вредност стране која недостаје, то јест основе тог троугла, црта се окомита на њу, подељена угао на два једнака дела, по један за сваки десни троугао који је формиран.

• Једнаке стране (а) = 42 цм.
• Угао (Ɵ) = 130 ^о

Тригонометријом се израчунава половина базе која одговара половини хипотенузе:

Да бисте израчунали површину, потребно је знати висину тог троугла, која се може израчунати тригонометријом или питагорејским теоремом, сада када је вредност базе већ одређена.

Тригонометријом ће то бити:

Периметар се израчунава:

П = 2 _* (страна а) + (страна б).

П = 2 _* (42цм) + (76цм)

П = 84 цм + 76 цм

П = 160 цм.

Трећа вежба

Израчунајте унутрашње углове изосцелес троугла, знајући да је угао основе = 55 ^или

Решење

За проналажење два углова који недостају (Е и О) потребно је запамтити два својства троуглова:

• Збир унутрашњих углова сваког троугла увек ће бити = 180 ^или :

А + Е + О = 180 ^или

• У једнакомерном троуглу углови основе су увек конгруентни, односно имају исту меру, дакле:

А = О

Е = 55 ^или

Да бисмо одредили вредност угла Е, у првом правилу замењујемо вредности осталих углова и решавамо за Е:

55 ^или + 55 ^или + О = 180 ^или

110 ^или + О = 180 ^или

О = 180 ^о - 110 ^о

О = 70 ^о .

Референце

1. Алварез, Е. (2003). Елементи геометрије: са бројним вежбама и геометријом компаса. Универзитет у Меделину.
2. Алваро Рендон, АР (2004). Технички цртеж: радна свеска.
3. Ангел, АР (2007). Елементарна алгебра. Пеарсон Едуцатион.
4. Артхур Гоодман, ЛХ (1996). Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Пеарсон Едуцатион.
5. Балдор, А. (1941). Алгебра. Хавана: Култура.
6. Јосе Јименез, Љ (2006). Матх 2
7. Тума, Ј. (1998). Приручник инжењерске математике. Волфрам МатхВорлд.