ИСТОРИЈСКА ПОЗАДИНА АНАЛИТИЧКЕ ГЕОМЕТРИЈЕ - МАТХС - 2025

У историјским претходници из аналитичке геометрије вратити у КСВИИ веку, када Пјер де Ферма и Рене Декарт дефинише своју основну идеју. Његов изум је уследио модернизацију алгебре и алгебарске ознаке Францоиса Виетеа.

Ово поље има своје базе у древној Грчкој, посебно у делима Аполонија и Еуклида, који су имали велики утицај у овој области математике.

Суштинска идеја иза аналитичке геометрије је да однос између две променљиве, тако да је једна функција друге, дефинише криву.

Ту идеју је први развио Пјер де Фермат. Захваљујући овом суштинском оквиру, Исаац Невтон и Готтфриед Леибниз успели су да развију рачуницу.

Француски филозоф Десцартес такође је открио алгебарски приступ геометрији, очигледно сам. Десцартесово дјело о геометрији појављује се у његовој чувеној књизи Дискурс о методи.

Ова књига истиче да геометријске конструкције компаса и правих ивица укључују сабирање, одузимање, множење и квадратне корене.

Аналитичка геометрија представља сједињење две важне традиције у математици: геометрија као проучавање форме и аритметика и алгебра, које имају везе са количином или бројевима. Стога је аналитичка геометрија проучавање поља геометрије коришћењем координатних система.

Историја

Позадина аналитичке геометрије

Однос између геометрије и алгебре развијао се током историје математике, иако је геометрија достигла ранију фазу зрелости.

На пример, грчки математичар Еуклид успео је да организује многе резултате у својој класичној књизи Елементи.

Али развитак аналитичке геометрије у својој књизи Цоницс предвидио је стари грчки Аполониј из Перге. Коник је дефинисао као пресек конуса и равнине.

Користећи Еуклидове резултате на сличним троугловима и секвенцијама кругова, пронашао је однос дат размаком од било које тачке „П“ коника до две окомите линије, главне осе конуса и тангенте на крајњој тачки осе. Аполониј је искористио овај однос како би закључио основна својства конике.

Накнадни развој координатних система настао је тек након што је алгебра сазрела захваљујући исламским и индијским математичарима.

До ренесансе, геометрија се користила за оправдање решења алгебричних проблема, али није много тога што алгебра може допринети геометрији.

Ова ситуација би се променила усвајањем погодне нотације за алгебарске односе и развојем концепта математичке функције, који је сада био могућ.

Век КСВИ

Крајем 16. века француски математичар Францоис Виете увео је прву систематску алгебарску нотацију, користећи слова за представљање бројчаних величина, и познатих и непознатих.

Такође је развио снажне опште методе за рад алгебричних израза и решавање алгебричних једначина.

Захваљујући томе, математичари нису у потпуности зависили од геометријских фигура и геометријске интуиције за решавање проблема.

Чак су и неки математичари почели да напуштају стандардни геометријски начин размишљања, према којем линеарне променљиве дужина и квадрата одговарају областима, док кубне променљиве одговарају количинама.

Први који су предузели овај корак били су филозоф и математичар Рене Десцартес и правник и математичар Пиерре де Фермат.

Основа аналитичке геометрије

Десцартес и Фермат су током 1630-их самостално основали аналитичку геометрију, усвајајући Виетеове алгебре за проучавање локуса.

Ови математичари су схватили да је алгебра моћан алат у геометрији и измислили су оно што је данас познато као аналитичка геометрија.

Један пробој који су направили био је надмашити Виете користећи слова како би представили удаљености која су променљива, а не фиксна.

Десцартес је користио једнаџбе за проучавање геометријски дефинисаних кривих и нагласио потребу да се размотре опште алгебраичко-графичке кривуље полиномних једначина у степенима "к" и "и".

Фермат је са своје стране нагласио да сваки однос између координата "к" и "и" одређује кривуљу.

Користећи се тим идејама, он је реструктурирао Аполонијеве изјаве алгебарским терминима и обновио неке изгубљене радове.

Фермат је назначио да се свака квадратна једнаџба у "к" и "и" може поставити у стандардни облик једног од коничних пресека. Упркос томе, Фермат никада није објавио свој рад на ту тему.

Захваљујући свом напретку, оно што је Архимед могао решити само са великим потешкоћама и за изоловане случајеве, Фермат и Декартес су могли да реше брзо и за велики број кривина (данас познатих као алгебарске кривуље).

Али његове идеје су добиле опште прихватање напорима других математичара у другој половини 17. века.

Математичари Франс ван Сцхоотен, Флоримонд де Беауне и Јохан де Витт помогли су проширивању Децартесовог рада и додали важан додатни материјал.

Утицај

Јохн Валлис је у Енглеској популаризовао аналитичку геометрију. Користио је једначине за дефинисање коника и добивање њихових својстава. Иако је слободно користио негативне координате, Исаац Невтон је користио две косите осе да би равнину поделио у четири квадранта.

Њутн и Немац Готтфриед Леибниз револуционизовали су математику крајем 17. века независно показујући снагу рачунице.

Невтон је показао важност аналитичких метода у геометрији и њихову улогу у рачуници, кад је тврдио да свака коцка (или било која алгебарска кривуља трећег степена) има три или четири стандардне једначине за одговарајуће координатне осе. Уз помоћ самог Невтона, шкотски математичар Јохн Стирлинг је то доказао 1717. године.

Аналитичка геометрија три и више димензија

Иако су и Десцартес и Фермат предложили коришћење три координате за проучавање кривина и површина у простору, тродимензионална аналитичка геометрија развијала се полако до 1730.

Математичари Еулер, Херманн и Цлаираут израдили су опште једначине за цилиндре, стожце и револуционарне површине.

На пример, Еулер је користио једначине за преводе у простору да трансформише општу квадратну површину тако да се њене главне осе подударају са њеним координатним осовинама.

Еулер, Јосепх-Лоуис Лагранге и Гаспард Монге учинили су аналитичку геометрију независном од синтетичке (неаналитичке) геометрије.

Референце

1. Развој аналитичке геометрије (2001). Опоравак са енцицлопедиа.цом
2. Историја аналитичке геометрије (2015). Опоравак са маа.орг
3. Анализа (математика). Опоравак од британница.цом
4. Аналитичка геометрија. Опоравак од британница.цом
5. Десцартес и рађање аналитичке геометрије. Опоравак од сциенцедирецт.цом