АНТИДЕРИВА: ФОРМУЛЕ И ЈЕДНАЏБЕ, ПРИМЕРИ, ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Примитивна функција ф (к) на функцију ф (к) се назива примитивна или једноставно неодређени интеграл поменуте функције, ако у датом интервалу И, то је испуњен да Ф'(х) = (к)

За пример узмимо следећу функцију:

ф (к) = 4к ³

Антидериватив ове функције је Ф (к) = к ⁴ , јер приликом разликовања Ф (к) користећи правило деривације за моћи:

Добијамо тачно ф (к) = 4к ³ .

Међутим, ово је само један од многих антидерива ф (к), јер је и ова друга функција: Г (к) = к ⁴ + 2, јер се приликом разликовања Г (к) у односу на к добија исто назад ф (к).

Хајде да проверимо:

Не заборавите да је дериват константе 0. Зато изразу к ⁴ можемо додати било коју константу и њен дериват ће остати 4к ³ .

Закључено је да било која функција општег облика Ф (к) = к ⁴ + Ц, где је Ц реална константа, служи као антидериватив ф (к).

Илустративни пример може се изразити овако:

дФ (к) = 4к ³ дк

Антидеривативни или неодређени интеграл изражен је симболом ∫, дакле:

Ф (к) = ∫4к ³ дк = к ⁴ + Ц

Где се функција ф (к) = 4к ³ назива интегранд, а Ц константа интеграције.

Примери антидерива

Слика 1. Антидериватив није ништа друго него неодређени интеграл. Извор: Пикабаи.

Проналажење антидеривата функције је једноставно у неким случајевима када су деривати добро познати. На пример, пустимо функцију ф (к) = син к, антидериватив за њу је друга функција Ф (к), тако да приликом разликовања добијамо ф (к).

Та функција може бити:

Ф (к) = - цос к

Проверите да ли је тачно:

Ф´ (к) = (- цос к) ´ = - (-сен к) = син к

Стога можемо написати:

∫сен к дк = -цос к + Ц

Поред познавања деривата, постоје и нека основна и једноставна правила интеграције за проналазак антидеривативног или неодређеног интегралног дела.

Нека је к реална константа, тада:

1.- ∫ кдк = к ∫дк = кк + Ц

2.- ∫кф (к) дк = к ∫ф (к) дк

Ако се функција х (к) може изразити као додавање или одузимање двеју функција, тада је њен неодређени интеграл:

3.- ∫х (к) дк = ∫дк = ∫ф (к) дк ± гг (к) дк

Ово је својство линеарности.

Владавина моћи интеграла може се успоставити на овај начин:

У случају н = -1, користи се следеће правило:

5.- ∫ к ^-1 дк = лн к + Ц

Лако је показати да је деривација лн к тачно к ^-1 .

Диференцијалне једначине

Диференцијална једначина је она у којој се непознато налази као дериват.

Сада је из претходне анализе лако схватити да је инверзна операција на деривату антидеривативни или неодређени интеграл.

Нека је ф (к) = и´ (к), то јест дериват неке функције. За означавање ове изведенице можемо користити следећу нотацију:

Одмах следи да:

Непозната диференцијална једначина је функција и (к), она чија је изведеница ф (к). Да бисте га решили, претходни израз је интегрисан на обе стране, што је еквивалентно примјени антидериватива:

Леви интеграл се решава правилом интеграције 1, са к = 1, решавајући тако жељену непознаницу:

А пошто је Ц стварна константа, да би се знало која је одговарајућа у сваком случају, изјава мора садржавати довољно додатних информација да би се израчунала вредност Ц. То се назива почетни услов.

Примјере примјене свега тога видјет ћемо у сљедећем одјељку.

Антидеривативне вежбе

- Вежба 1

Примените правила интеграције за добијање следећих антидериватива или неодређених интеграла датих функција, поједностављујући резултате колико год је то могуће. Прикладно је да се резултат верификује.

Слика 2. Вјежбе антидерива или одређених интеграла. Извор: Пикабаи.

Решење за

Прво применимо правило 3, пошто је интегранд збир два термина:

∫ (к + 7) дк ​​= ∫ кдк + ∫7дк

За први интеграл се примењује правило напајања:

∫ дк = (к ² /2) + Ц ₁

У другом се примењује интегрално правило 1, где је к = 7:

∫7дк = 7∫дк = 7к + Ц ₂

А сада су резултати додани. Две константе су груписане у једну, генерички названу Ц:

∫ (к + 7) дк = (к ² /2) + 7к + Ц

Решење б

Линеарношћу се овај интегрални део декомпонује у три једноставнија интеграла на која ће се применити правило моћи:

∫ (к ^3/2 + к ² + 6) дк = ∫к ^3/2 дк + ∫к ² дк + ∫6 дк =

Имајте на уму да се константна интеграција појављује за сваки интеграл, али се они састају у једном позиву Ц.

Решење ц

У овом случају, прикладно је применити дистрибутивно својство множења за развој интегранда. Тада се користи правило напајања за проналажење сваког интегрално одвојено, као у претходној вежби.

∫ (к + 1) (3к-2) дк = ∫ (3к ² -2к + 3к-2) дк = ∫ (3к ² + к - 2) дк

Пажљиви читатељ ће приметити да су два централна појма слична, па се смањују пре интеграције:

∫ (к + 1) (3к-2) дк = ∫3к ² дк + ∫ к дк + ∫- 2 дк = к ³ + (1/2) к ² - 2к + Ц

Решење е

Један од начина да се реши интеграл биће развијање моћи, као што је учињено у примеру д. Међутим, како је експонент већи, било би препоручљиво променити променљиву, како не би било потребно тако дуго развијати.

Промена променљиве је следећа:

у = к + 7

Извођење овог израза на обе стране:

ду = дк

Интеграл се трансформише у једноставнију с новом променљивом, која се решава правилом напајања:

∫ (к + 7) ⁵ дк = ∫ у ⁵ ду = (1/6) у ⁶ + Ц

На крају се промена враћа да би се вратила оригиналној променљивој:

∫ (к + 7) ⁵ дк = (1/6) (к + 7) ⁶ + Ц

- Вежба 2

Честица је у почетку у мировању и помера се дуж осе. Његово убрзање за т> 0 је дато функцијом а (т) = цос т. Познато је да је при т = 0, положај к = 3, све у јединицама Међународног система. Од њега се тражи да нађе брзину в (т) и положај к (т) честице.

Решење

Пошто је убрзање прва деривација брзине у односу на време, имамо следећу диференцијалну једначину:

а (т) = в´ (т) = цос т

Следи да:

в (т) = ∫ цос т дт = син т + Ц ₁

С друге стране, знамо да је брзина, заузврат, дериват положаја, па се поново интегришемо:

к (т) = ∫ в (т) дт = ∫ (син т + Ц ₁ ) дт = ∫сен т дт + ∫Ц ₁ дт = - цос т + Ц ₁ т + Ц ₂

Константе интеграције одређују се на основу података даних у изјави. На првом месту пише да је честица у почетку била у мировању, па је в (0) = 0:

в (0) = син 0 + Ц ₁ = 0

Ц ₁ = 0

Онда имамо к (0) = 3:

к (0) = - цос 0 + Ц ₁ 0 + Ц ₂ = - 1 + Ц ₂ = 3 → Ц ₂ = 3 + 1 = 4

Функције брзине и положаја дефинитивно су ове:

в (т) = син т

к (т) = - цос т + 4

Референце

1. Енглер, А. 2019. Интегрални рачун. Национални универзитет Литорал.
2. Ларсон, Р. 2010. Прорачун променљиве. 9тх. Едитион. МцГрав Хилл.
3. Математика Бесплатни текстови. Антидерива. Опоравак са: матх.лиибретектс.орг.
4. Википедиа. Антидерива. Опоравак од: ен.википедиа.орг.
5. Википедиа. Неодређена интеграција. Опоравак од: ес.википедиа.орг.