ЛУК (ГЕОМЕТРИЈА): МЕРА, ВРСТЕ ЛУКОВА, ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Лук , у геометрији, је било закривљена линија која повезује два бода. Закривљена линија, за разлику од праве, је она чији се правац разликује у свакој тачки на њој. Супротност лука је сегмент, будући да је ово равни пресек који спаја две тачке.

Лук који се најчешће користи у геометрији је лук обима. Остали лукови у заједничкој употреби су параболични лук, елиптични лук и катенарни лук. Архивни облик се такође често користи у архитектури као декоративни елемент и структурални елемент. То је случај са надвратницима врата и прозора, као и мостовима и водоводима.

Слика 1. Дуга је закривљена линија која се спаја са две тачке на хоризонту. Извор: Пикабаи

Лук и његова мера

Мера лука је његова дужина која зависи од типа кривине која повезује две тачке и њихове локације.

Дужина кружног лука једна је од најједноставнијих за израчунавање, јер је позната дужина комплетног лука или обода обима.

Периметар круга је два пи већи од његовог радијуса: п = 2 π Р. Знајући то, ако желимо да израчунамо дужину с кружног лука угла α (мерено у радијанима) и полупречника Р, примењује се пропорција:

(с / п) = (α / 2 π)

Затим, избришући с претходног израза и замењујући обод п за његову експресију као функцију радијуса Р, имамо:

с = (α / 2 π) п = (α / 2 π) (2 π Р) = α Р.

Односно, мера кружног лука је производ његовог угаоног отвора који је временски од полумјера кружног лука.

За лук уопште, проблем је сложенији, до те мере да су велики мислиоци антике тврдили да је то немогућ задатак.

Тек са појавом диференцијалног и интегралног израчуна 1665. године проблем мерења било којег лука био је задовољавајуће решен.

Пре проналаска диференцијалног прорачуна, решења су могла да се пронађу само употребом полигоналних линија или обода лукова који су приближили стварном луку, али та решења нису била тачна.

Врсте лукова

Са гледишта геометрије, лукови се класификују према закривљеној линији која спаја две тачке на равнини. Постоје и друге класификације према употреби и архитектонском облику.

Кружни лук

Када је линија која повезује две тачке у равнини део обима одређеног радијуса, имамо кружни лук. Слика 2 приказује кружни лук ц полумјера Р који повезује тачке А и Б.

Слика 2. Кружни лук полупречника Р који повезује тачке А и Б. Разрадио Рицардо Перез.

Параболични лук

Парабола је стаза праћена предметом који је косо бачен у ваздух. Када је кривуља која спаја две тачке парабола, тада имамо параболични лук као онај приказан на слици 3.

Слика 3. Параболични лук који повезује тачке А и Б. Разрадио Рицардо Перез.

Ово је облик млаза воде који излази из црева окренутог према горе. Параболични лук се може опазити у изворима воде.

Слика 4. Параболични лук формиран водом из чесме у Дрездену. Извор: Пикабаи.

Катенарни лук

Катенарни лук је још један природни лук. Катенар је кривуља која се природно формира када ланац или коноп лагано виси са двије одвојене тачке.

Слика 5. Катенарни лук и поређење са параболичним луком. Припремио Рицардо Перез.

Катенар је сличан параболи, али није потпуно исти као што се може видети на слици 4.

Инвертирани катенарни лук користи се у архитектури као структурални елемент велике чврстоће на притисак. У ствари, може се показати да је најјача врста лука међу свим могућим облицима.

Да бисте направили чврсти катенарни лук, само копирајте облик висећег конопа или ланца, а затим копирани облик окрећете да бисте га репродуковали на надвратнику врата или прозора.

Елиптични лук

Лук је елиптичан ако је кривина која повезује две тачке део елипсе. Елипса је дефинисана као место тачака чија се удаљеност до две дате тачке увек доводи до константне величине.

Елипса је кривина која се појављује у природи: кривуља је путање планета око Сунца, што је показао Јоханнес Кеплер 1609.

У пракси се елипса може извући тако што ћете две штапове забити у земљу или два игле у комаду папира и везати их жицом. Коноп се затим затегне маркером или оловком и следи се кривуља. Комад елипсе је елиптични лук. Следећа анимација илуструје цртање елипсе:

Слика 5. Тражење елипсе помоћу напетог конопа. Извор: Викимедиа Цоммонс

На слици 6 приказане су точке елиптичног лука Г и Х.

Слика 6. Елиптични лук који повезује две тачке. Припремио Рицардо Перез.

Примери лукова

Следећи примери се односе на то како израчунати обод неких одређених лукова.

Пример 1

На слици 7 приказан је прозор завршен урезаном кружном луку. Димензије приказане на слици су у стопама. Пронађите дужину лука.

Слика 7. Израчунавање дужине кружног лука прозора. (Властите напомене - слика прозора на Пикабаиу)

Да би се добио центар и полумјер кружног лука прозора, на слици су израђене следеће конструкције:

-Извучен је сегмент КЛ и црта се његов бисектор.

- Тада се налази највиша тачка надвожњака, коју називамо М. Даље, разматра се сегмент КМ и проналази његова медиатрик.

Пресретање два бисектора је тачка Н, а такође је средиште кружног лука.

-Сада морамо измерити дужину НМ сегмента која се поклапа са полумјером Р кружног лука: Р = 2,8 стопа.

-Да бисте знали дужину лука поред радијуса, потребно је знати и угао који лук формира. Која се може одредити двема методама, или се мери протрактором, или се израчунава помоћу тригонометрије.

У приказаном случају, угао формиран од лука је 91,13 °, који се мора претворити у радијане:

91.13º = 91.13º * π / 180º = 1.59 радијана

На крају израчунавамо дужину с лука помоћу формуле с = α Р.

с = 1,59 * 2,8 стопа = 4,45 стопала

Пример 2

Пронађите дуљину елиптичног лука приказану на слици 8, ​​познавајући полу-главну осовину р и полу-мању осовину елипсе.

Слика 8. Елиптични лук између ГХ. Припремио Рицардо Перез.

Проналажење дужине елипсе био је један од најтежих проблема математике дуго времена. Можете да добијете решења изражена елиптичним интегралама, али да бисте имали нумеричку вредност, морате их проширити у енергетским низима. Тачан резултат захтевао би бесконачне изразе тих серија.

Срећом, хиндуистички математички гениј Раманујан, који је живео између 1887. и 1920., пронашао је формулу која врло прецизно приближава обод елипсе:

Периметар елипсе са р = 3 цм и с = 2,24 цм је 16,55 цм. Међутим, приказани елиптични лук има половину те вредности:

Дужина елиптичног лука ГХ = 8,28 цм.

Референце

1. Цлеменс С. 2008. Геометрија и тригонометрија. Пеарсон Едуцатион.
2. Гарциа Ф. Нумерички поступци у Јави. Дужина елипсе. Опоравак од: сц.еху.ес
3. Динамичка геометрија. Лукови. Опоравак од геометриадинамица.ес
4. Пизиадас. Елипсе и параболе око нас. Опоравак од: пизиадас.цом
5. Википедиа. Лук (геометрија). Опоравак од: ес.википедиа.цом