КОНСТАНТНОСТ ИНТЕГРАЦИЈЕ: ЗНАЧЕЊЕ, ПРОРАЧУН И ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Константа интеграције је додатна вриједност на обрачун примитивна функција или интеграли, служи да представљају решења која чине примитивна функције. Он изражава урођену двосмисленост када било која функција има неограничен број примитива.

На пример, ако узмемо функцију: ф (к) = 2к + 1 и добијемо њену антидеривативу:

∫ (2к + 1) дк = к ² + к + Ц ; Где Ц представља константа интеграције и представља графички вертикалну превођење између бесконачних могућности примитивног. Тачно је рећи да је (к ² + к) један од примитива ф (к).

Извор: аутор

Слично томе можемо дефинисати (к ² + к + Ц ) као примитив ф (к).

Реверсе проперти

Може се приметити да се при изводу израза (к ² + к) добија функција ф (к) = 2к + 1. То је последица инверзног својства које постоји између деривације и интеграције функција. Ово својство омогућава добијање формула интеграције полазећи од диференцијације. Што омогућава верификацију интеграла путем истих деривата.

Извор: аутор

Међутим, (к ² + к) није једина функција чија је деривација једнака (2к + 1).

1. д (к ² + к) / дк = 2к + 1
2. д (к ² + к + 1) / дк = 2к + 1
3. д (к ² + к + 2) / дк = 2к + 1
4. д (к ² + к + 3) / дк = 2к + 1
5. д (к ² + к + Ц ) / дк = 2к + 1

Где 1, 2, 3 и 4 представљају посебне примитиве ф (к) = 2к + 1. док 5 представља неодређени или примитивни интеграл од ф (к) = 2к + 1.

Извор: аутор

Примитиви функције се постижу антидеривацијом или интегралним процесом. Где ће Ф бити примитив ф ако је тачно следеће

• и = ∫ ф (к) дк = Ф (к) + Ц; Ц = константа интеграције
• Ф '(к) = ф (к)

Може се видети да функција има један дериват, за разлику од његових бесконачних примитиваца који су резултат интеграције.

Неодређени интеграл

∫ ф (к) дк = Ф (к) + Ц

Одговара породици кривина са истим узорком, које доживљавају нескладност у вредности слика сваке тачке (к, и). Свака функција која испуњава овај образац биће индивидуални примитив, а скуп свих функција познат је као неодређени интеграл.

Вредност константе интеграције биће та која разликује сваку функцију у пракси.

Константа интеграције указује на вертикални помак у свим графицима представљају примитиве функције. Тамо где се посматра паралелизам међу њима и чињеница да је Ц вредност помака.

Према уобичајеним праксама, константа интеграције означена је словом „Ц“ после додавања, мада у пракси није важно да ли се константа додаје или одузима. Његова стварна вредност може се наћи на различите начине под различитим почетним условима .

Друга значења константе интеграције

Већ је дискутовано о томе како се константа интеграције примењује у грани интегралног прорачуна ; Представља породицу кривих која дефинише неодређени интеграл. Али многе друге науке и гране додељивале су врло занимљиве и практичне вредности константе интеграције, што је олакшало развој више студија.

У физици константа интеграције може узети више вриједности овисно о природи података. Врло чест пример је познавање функције В (т) која представља брзину честице у односу на време т. Познато је да се при израчунавању примитива В (т) добија функција Р (т) која представља положај честице у односу на време.

Константа интеграције ће представљати вредност иницијалној позицији, то јест, у времену т = 0.

На исти начин, ако је позната функција А (т) која представља убрзање честице у односу на време. Примитив А (т) резултираће функцијом В (т), при чему ће константа интеграције бити вредност почетне брзине В ₀ .

У економији , интеграцијом добијања примитива трошковне функције. Константа интеграције ће представљати фиксне трошкове. И толико много других апликација које заслужују диференцијално и интегрално рачунање.

Како се израчунава константа интеграције?

Да би се израчунала константа интеграције, увек ће бити потребно знати почетне услове . Који су задужени за дефинисање који је од могућих примитива одговарајући.

У многим се апликацијама третира као независна варијабла у времену (т), где константа Ц узима вредности које дефинишу почетне услове одређеног случаја.

Ако узмемо почетни пример: ∫ (2к + 1) дк = к ² + к + Ц

Важећи почетни услов може бити услов да граф прође кроз одређену координату. На пример, знамо да примитивни (к ² + к + Ц) пролази кроз тачку (1, 2)

Ф (к) = к ² + к + Ц; ово је опште решење

Ф (1) = 2

У овој једнакости замјењујемо опште рјешење

Ф (1) = (1) ² + (1) + Ц = 2

Одакле лако следи да је Ц = 0

На овај начин одговарајући примитив за овај случај је Ф (к) = к ² + к

Постоји неколико врста нумеричких вежби које раде са константима интеграције . У ствари, диференцијално и интегрално рачунање не престаје да се примењује у тренутним истраживањима. На различитим академским нивоима могу се наћи; од почетног рачунања, преко физике, хемије, биологије, економије, између осталог.

Такође је цењено у проучавању диференцијалних једначина , где константа интеграције може примити различите вредности и решења, што је последица вишеструких деривација и интеграција које се спроводе у овом питању.

Примери

Пример 1

1. Топов који се налази 30 метара висок испаљује пројектил окомито према горе. Зна се да је почетна брзина пројектила 25 м / с. Одлучити:

• Функција која дефинира положај пројектила с обзиром на вријеме.
• Време лета или тренутак времена када честица удари о земљу.

Познато је да у правоугаоном кретању, једнолико различитом, убрзање представља константну вредност. То је случај лансирања пројектила, при чему ће убрзање бити гравитационо

г = - 10 м / с ²

Такође је познато да је убрзање други дериват положаја, што указује на двоструку интеграцију у резолуцији вежбе, чиме се добијају две константе интеграције.

А (т) = -10

В (т) = ∫А (т) дт = ∫ (-10т) дт = -10т + Ц ₁

Почетни услови вежбе указују на то да је почетна брзина В ₀ = 25 м / с. Ово је брзина у тренутку времена т = 0. На овај начин се постиже да:

В (0) = 25 = -10 (0) + Ц ₁ и Ц ₁ = 25

Са дефинисаном функцијом брзине

В (т) = -10т + 25; Сличност се може приметити помоћу МРУВ формуле (В _ф = В ₀ + акт)

На хомологни начин, функција брзине је интегрисана да добије израз који дефинише положај:

Р (т) = ∫В (т) дт = ∫ (-10т + 25) дт = -5т ² + 25т + Ц ₂

Р (т) = -5т ² + 25т + Ц ₂ (поситион примитивно)

Познат је почетни положај Р (0) = 30 м. Тада се израчунава одређени примитив пројектила.

Р (0) = 30м = -5 (0) ² + 25 (0) + Ц ₂ . Где је Ц ₂ = 30

Пример 2

1. Пронађите примитивни ф (к) који задовољава почетне услове:

• ф '' (к) = 4; ф '(2) = 2; ф (0) = 7

Са информацијом другог деривата ф '' (к) = 4 започиње процес антидеривације

ф '(к) = ∫ф' '(к) дк

Д4 дк = 4к + Ц ₁

Затим, знајући услов ф '(2) = 2, настављамо:

4 (2) + Ц ₁ = 2

Ц ₁ = -6 и ф '(к) = 4к - 8

На исти начин настављамо и за другу константу интеграције

ф (к) = ∫ф '(к) дк
∫ (4к - 8) дк = 2к ² - 8к + Ц ₂

Почетни услов ф (0) = 7 је познат и настављамо:

2 (0) ² - 8 (0) + Ц ₂ = 7

Ц ₂ = 7 и ф (к) = 2к ² - 8к + 7

• ф '' (к) = к ² ; ф '(0) = 6; ф (0) = 3

На сличан начин као у претходном проблему, дефинишемо прве деривате и оригиналну функцију из почетних услова.

ф '(к) = ∫ф' '(к) дк

∫ (к ² ) дк = (к ³ /3) + Ц ₁

Са условом ф '(0) = 6 настављамо:

(0 ^3/3 ) + Ц ₁ = 6; Где је Ц ₁ = 6 ф '(к) = (к ³ /3) + 6

Затим друга константа интеграције

ф (к) = ∫ф '(к) дк

∫ дк = (к ⁴ /12) + 6к + Ц ₂

Почетни услов ф (0) = 3 је познат и настављамо:

+ 6 (0) + Ц ₂ = 3; Где је Ц ₂ = 3

Тако добијамо примитивно посебно

ф (к) = (к ⁴ /12) + 6к + 3

Пример 3

1. Дефинишите примитивне функције с обзиром на деривате и тачку на графу:

• ди / дк = 2к - 2 која пролази кроз тачку (3, 2)

Важно је запамтити да се деривати односе на нагиб линије тангенте на кривуљу у одређеној тачки. Тамо где није тачно претпоставити да граф деривата додирује назначену тачку, јер то припада графу примитивне функције.

На овај начин диференцијалну једначину изражавамо на следећи начин:

∫ди = ∫ (2к - 2) дк

Примјена почетног стања:

2 = (3) ² - 2 (3) + Ц

Ц = -1

Добија се: ф (к) = к ² - 2к - 1

• ди / дк = 3к ² - 1 који пролази кроз тачку (0, 2)

Диференцијалну једначину изражавамо на следећи начин:

Примјена почетног стања:

2 = (0) ² - 2 (0) + Ц

Ц = 2

Добијамо: ф (к) = к ³ - к + 2

Предложене вежбе

Вежба 1

1. Пронађите примитивни ф (к) који задовољава почетне услове:

• ф '' (к) = к; ф '(3) = 1; ф (2) = 5
• ф '' (к) = к + 1; ф '(2) = 2; ф (0) = 1
• ф '' (к) = 1; ф '(2) = 3; ф (1) = 10
• ф '' (к) = -к; ф '(5) = 1; ф (1) = -8

Вежба 2

1. Балон који се успиње брзином од 16 фт / с спушта врећу песка са висине од 64 фт изнад нивоа земље.

• Дефинишите време лета
• Какав ће бити вектор В _ф када падне на земљу?

Вежба 3

1. На слици је приказан графикон времена убрзања аутомобила који се креће у позитивном правцу оси к. Аутомобил је путовао константном брзином од 54 км / х када је возач активирао кочнице како би се зауставио за 10 секунди. Одреди:

• Почетно убрзање аутомобила
• Брзина аутомобила при т = 5с
• Замјена аутомобила током кочења

Извор: аутор

Вежба 4

1. Дефинишите примитивне функције с обзиром на деривате и тачку на графу:

• ди / дк = к који пролази кроз тачку (-1, 4)
• ди / дк = -к ² + 1 који пролази кроз тачку (0, 0)
• ди / дк = -к + 1 који пролази кроз тачку (-2, 2)

Референце

1. Интегрално рачунање. Неодређене интегралне и интеграционе методе. Вилсон, Веласкуез Бастидас. Универзитет Магдалена 2014
2. Стеварт, Ј. (2001). Прорачун променљиве. Рани трансцендентални. Мексико: Тхомсон Леарнинг.
3. Јименез, Р. (2011). Математика ВИ. Интегрално рачунање. Мексико: Пеарсон Едуцатион.
4. Физика И. Мц Грав Хилл