ЦИЛИНДРИЧНЕ КООРДИНАТЕ: СИСТЕМ, ПРОМЕНА И ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

У цилиндричне координате се користе за лоцирање тачке у тродимензионалном простору и састоји се од радијалног координата ρ, φ азимутни координира и з координата висине.

Тачка П која се налази у простору пројектована је ортогонално на равнини КСИ, стварајући тачку П 'у тој равнини. Удаљеност од почетка до тачке П 'одређује координату ρ, док угао који Кс оса прави са снопом ОП' дефинира координату φ. Коначно, з координата је ортогонална пројекција тачке П на оси З. (види слику 1).

Слика 1. Тачка П цилиндричних координата (ρ, φ, з). (Властита обрада)

Радијална координата ρ је увек позитивна, азимутна координата φ варира од нула радијана до два пи радијана, док з координата може узети било коју стварну вредност:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <з <+ ∞

Промјена координата

Релативно је лако добити картезијанске координате (к, и, з) тачке П из њених цилиндричних координата (ρ, φ, з):

к = ρ цос (φ)

и = ρ син (φ)

з = з

Али такође је могуће добити поларне координате (ρ, φ, з) полазећи од сазнања картезијанских координата (к, и, з) тачке П:

ρ = √ (к ² + и ² )

φ = арцтан (и / к)

з = з

Векторска база у цилиндричним координатама

Дефинисана је основа вектора цилиндричних јединица Уρ , Уφ , Уз .

Вектор Уρ је тангентан према линији φ = цтте и з = цтте (радијално је усмерјен према споља), вектор Уφ је тангентан на линију ρ = цтте и з = цтте и на крају Уз има исти правац оси З.

Слика 2. Цилиндрична база координата. (викимедиа цоммонс)

У бази цилиндричне јединице вектор позиције р тачке П пише се векторски овако:

р = ρ Уρ + 0 Уφ + з Уз

С друге стране, бесконачни помак д р од тачке П изражава се на следећи начин:

д р = дρ Уρ + ρ дφ Уφ + дз Уз

Слично томе, инфинитезимални елемент запремине дВ у цилиндричним координатама је:

дВ = ρ дρ дφ дз

Примери

Постоји безброј примјера употребе и примјене цилиндричних координата. На пример, у картографији се користи цилиндрична пројекција, заснована управо на овим координатама. Има још примера:

Пример 1

Цилиндричне координате имају примену у технологији. Као пример имамо ЦХС (Цилиндер-Хеад-Сецтор) систем података на чврстом диску, који се заправо састоји од неколико дискова:

- Цилиндар или колосек одговарају координати ρ.

- Сектор одговара положају φ диска који се ротира великом угаоном брзином.

- Глава одговара з-положају главе за читање на одговарајућем диску.

Сваки бајт информација има тачну адресу у цилиндричним координатама (Ц, С, Х).

Слика 2. Локација информација у цилиндричним координатама на систему тврдог диска. (викимедиа цоммонс)

Пример 2

Грађевинске дизалице фиксирају положај терета у цилиндричним координатама. Хоризонтални положај је дефинисан удаљеностом до осе или стрелице дизалице ρ и његовим угловима положаја φ у односу на неку референтну ос. Вертикални положај оптерећења одређује се з координата висине з.

Слика 3. Положај терета на грађевинској дизалици може се лако изразити цилиндричним координатама. (слика пикабаи - примедбе Р. Перез)

Решене вежбе

Вежба 1

Постоје тачке П1 са цилиндричним координатама (3, 120º, -4) и тачка П2 са цилиндричним координатама (2, 90º, 5). Пронађите еуклидско растојање између ове две тачке.

Решење: Прво прелазимо на проналажење картезијанских координата сваке тачке по формули која је дата горе.

П1 = (3 * цос 120º, 3 * син 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

П2 = (2 * цос 90º, 2 * син 90º, 5) = (0, 2, 5)

Еуклидска удаљеност између П1 и П2 је:

д (П1, П2) = √ ((0 - (-1.5)) ² + (2 - 2.60) ² + (5 - (- 4)) ² ) =…

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Вежба 2

Тачка П има картезијанске координате (-3, 4, 2). Пронађите одговарајуће цилиндричне координате.

Рјешење: Цилиндричне координате настављамо помоћу горе наведених односа:

ρ = √ (к ² + и ² ) = √ ((- 3) ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = арцтан (и / к) = арцтан (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

з = 2

Треба имати на уму да је функција лукња вишеструка са периодичношћу од 180 °. Такође, угао φ мора да припада другом квадранту, с обзиром да су к и и координате тачке П у том квадранту. То је разлог зашто је резултату φ додато 180º.

Вежба 3

Изражавајте цилиндричним координатама и картезијанским координатама површину цилиндра са полумјером 2 и чија се ос подудара са оси З.

Решење: Подразумева се да цилиндар има бесконачно продужење у правцу з, па једначина наведене површине у цилиндричним координатама износи:

ρ = 2

Да би се добила картезијанска једнаџба цилиндричне површине узима се квадрат оба члана претходне једначине:

ρ ² = 4

Помножимо оба члана претходне једнакости са 1 и применимо темељни тригонометријски идентитет (син ² (φ) + цос ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(син ² (φ) + цос ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Заграде су развијене за добијање:

(ρ син (φ)) ² + (ρ цос (φ)) ² = 4

Запамтимо да су прве заграде (ρ син (φ)) и координата тачке у поларним координатама, док заграде (ρ цос (φ)) представљају к координату, тако да имамо једначину цилиндра у координатама Картезијански:

и ² + к ² = 2 ²

Горњу једнаџбу не треба мешати са оном обима у равнини КСИ, јер би у овом случају изгледало овако: {и ² + к ² = 2 ² ; з = 0}.

Вежба 4

Цилиндар радијуса Р = 1 м и висине Х = 1м његова маса се радијално дистрибуира према следећој једначини Д (ρ) = Ц (1 - ρ / Р) где је Ц константна вредност Ц = 1 кг / м ³ . Пронађите укупну масу цилиндара у килограмима.

Рјешење: Прво је схватити да функција Д (ρ) представља запреминску густину масе, те да се густина масе дистрибуира у цилиндричним шкољкама опадајуће густине од центра до периферије. Бесконачно мали волуменски елемент према симетрији проблема је:

дВ = ρ дρ 2π Х

Дакле, бесконачна минимална маса цилиндричне љуске ће бити:

дМ = Д (ρ) дВ

Стога ће се укупна маса цилиндра изразити следећим одређеним интегралом:

М = ∫ _или ^Р Д (ρ) дВ = ∫ _или ^Р Ц (1 - ρ / Р) ρ дρ 2π Х = 2π ХЦ ∫ _или ^Р (1 - ρ / Р) ρ дρ

Решење назначеног интегралног није тешко добити, његов резултат је:

∫ _ор ^Р (1 - ρ / Р) ρ дρ = (⅙) Р ²

Укључујући овај резултат у израз масе цилиндра, добијамо:

М = 2π ХЦ (⅙) Р ² = ⅓ π ХЦР ² =

⅓ π 1м * 1кг / м ³ * 1м ² = π / 3 кг ≈ 1,05 кг

Референце

1. Арфкен Г и Вебер Х. (2012). Математичке методе за физичаре. Опсежан водич. 7. издање Академска штампа. ИСБН 978-0-12-384654-9
2. Прорачун ццм. Решени проблеми цилиндричних и сферних координата. Опоравак од: Цалцуло.цц
3. Веисстеин, Ериц В. "Цилиндричне координате." Фром МатхВорлд - Волфрам Веб. Опоравак од: матхворлд.волфрам.цом
4. википедиа. Цилиндрични координатни систем. Опоравак од: ен.википедиа.цом
5. википедиа. Векторска поља у цилиндричним и сферним координатама. Опоравак од: ен.википедиа.цом