СФЕРНЕ КООРДИНАТЕ: ПРИМЕРИ И РЕШЕНЕ ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

У сферне координате су скуп локацијских тачака у тродимензионалном простору који се састоји од радијалног координата и два угаоне координате називају поларне координирају и азимутхал координата.

На слици 1, коју видимо доле, приказане су сферне координате (р, θ, φ) тачке М. Те се координате називају ортогоналним системом картезијанских оси Кс, И, З порекла О.

Слика 1. Сферне координате (р, θ, φ) тачке М. (викимедиа цоммонс)

У овом случају, координата р тачке М је удаљеност од те тачке до исходишта О. Поларна координата θ представља угао између позитивне полу-осе З и вектора радијуса ОМ. Док је азимутна координата φ угао између позитивне полу-осе Кс и вектора радијуса ОМ ', где је М' ортогонална пројекција М на равнину КСИ.

Радиална координата р узима само позитивне вредности, али ако се тачка налази на почетку, р = 0. Поларна координата θ узима минималну вредност 0º за тачке смештене на позитивној полу-оси З, а максимална вредност 180º за тачке смештена је на негативној полу-оси З. Коначно, азимутна координата φ узима минималну вредност 0º и максималну висину од 360º.

0 ≤ р <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Промјена координата

Затим ћемо формуле које омогућавају добијање картезијанских координата (к, и, з) тачке М дати под претпоставком да су познате сферне координате исте (р, θ, φ) тачке:

к = р Сен (θ) Цос (φ)

и = р Сен (θ) Сен (φ)

з = р Цос (θ)

На исти начин је корисно пронаћи односе који иду од картезијанских координата (к, и, з) дате тачке до сферних координата наведене тачке:

р = √ (к ^ 2 + и ^ 2 + з ^ 2)

θ = Арцтан (√ (к ^ 2 + и ^ 2) / з)

φ = Арцтан (и / к)

Векторска база у сферним координатама

Од сферних координата дефинисана је ортонормална основа основних вектора које су означене са Ур , Уθ , Уφ . На слици 1 приказана су ова три јединица вектора која имају следеће карактеристике:

- Ур је јединични вектор тангента на радијалну линију θ = цтте и φ = цтте;

- Уθ је јединични вектор тангента на луку φ = цтте и р = цтте;

- Уφ је јединични вектор тангента на луку р = цтте и θ = цтте.

Елементи линија и волумена у сферним координатама

Вектор позиције тачке у простору у сферним координатама пише овако:

р = р Ур

Али инфинитезимална варијација или помицање тачке у тродимензионалном простору, у овим координатама, изражава се следећим векторским односом:

д р = др Ур + р дθ Уθ + р Сен (θ) д φ Уφ

Коначно, бесконачни минимални волумен дВ у сферним координатама се записује овако:

дВ = р ^ 2 Сен (θ) др дθ дφ

Ови односи су веома корисни за израчунавање интеграла линија и волумена у физичким ситуацијама које имају сферну симетрију.

Однос са географским координатама

Под географским координатама подразумевају се оне које служе за проналажење места на земљиној површини. Овај систем користи координате земљописне ширине и дужине за лоцирање положаја на површини Земље.

У географском координатном систему претпоставља се да је земаљска површина сферна са полумјером Рт, иако се зна да је на половима спљоштена, а разматра се скуп имагинарних линија који се називају паралеле и меридијани.

Слика 2. Земљописна дужина α и ширина β посматрача на земљиној површини.

Ширина β је угао формиран полумјером који почиње од центра Земље до тачке коју желите да поставите. Она се мери из екваторијалне равни, као што је приказано на слици 2. С друге стране, дужина α је угао који формира меридијан тачке у односу на нулти меридијан (познат као Греенвицх-ов меридијан).

Географска ширина може бити северна или јужна ширина, у зависности да ли се место на коме налазите налази се на северној или на јужној. Слично томе, земљописна дужина може бити западна или источна, зависно од тога да ли је локација западна или источна од нултог меридијана.

Формуле за промену из географских у сферне

Да бисте добили ове формуле, прво је успоставити координатни систем. Раван КСИ одабрана је тако да се подудара са екваторијалном равнином, позитивна Кс полуос је она која иде из центра Земље и пролази кроз нулти меридијан. Заузврат, оса И пролази кроз меридијан 90 ° Е. Земљина површина има радијус Рт.

Са овим координатним системом, трансформације из географских у сферно изгледају овако:

αЕβН → (Рт, θ = 90º-β, φ = α)

αОβН → (Рт, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αЕβС → (Рт, θ = 90º + β, φ = α)

αОβС → (Рт, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

Примери

Пример 1

Географске координате Палма де Мајорка (Шпанија) су:

Источна дужина 38.847º и Северна ширина 39.570º. За одређивање сферних координата које одговарају Палма де Мајорци, примењује се прва од формула у претходном одељку:

38.847ºЕ39.570ºН → (р = 6371 км, θ = 90º-39.570º, φ = 38.847º)

Дакле, сферне координате су:

Палма де Мајорка: (р = 6371 км, θ = 50.43º, φ = 38.85º)

У претходном одговору р узет је једнак просечном радијусу Земље.

Пример 2

Знајући да острва Малвинас (Фалкланд) имају географске координате од 59 ° О 51,75 ° С, одредите одговарајуће поларне координате. Запамтите да оса Кс иде од центра Земље до меридијана 0 ° и у екваторијалној равнини; ос И такође у екваторијалној равни и пролази кроз западни меридијан 90 °; најзад З ос на Земљиној оси ротације у правцу Југ-Север.

Да би пронашли одговарајуће сферне координате, користимо формуле представљене у претходном одељку:

59ºО 51,75ºС → (р = 6371 км, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º-59º), тј.

Малвина: (р = 6371 км, θ = 141,75º, φ = 301º)

Вежбе

Вежба 1

Пронађите картезијанске координате Палме де Мајорке у КСИЗ картезијанском референтном систему приказаном на слици 2.

Решење: Раније су у примеру 1 сферне координате добијене почевши од географских координата Палме де Мајорке. Формуле представљене горе могу се користити за прелазак сферичних на картезијанске:

к = 6371 км Сен (50.43º) Цос (38.85º)

и = 6371 км Сен (50.43º) Сен (38.85º)

з = 6371 км Цос (50,43º)

Извођење одговарајућих израчуна имамо:

Палма де Мајорка: (к = 3825 км, и = 3081 км, з = 4059)

Вежба 2

Пронађите картезијанске координате Фалкландских острва у КСИЗ картезијанском референтном систему приказаном на слици 2.

Решење: Раније, у примеру 2, сферне координате су добијене почевши од географских координата острва Малвинас. Формуле представљене горе могу се користити за прелазак сферичних на картезијанске:

к = 6371 км Сен (141,75º) Цос (301º)

и = 6371 км Сен (141.75º) Сен (301º)

з = 6371 км, Цос (141,75º)

Обављајући одговарајуће прорачуне, добијамо:

Фалкландска острва: (к = 2031 км, и = -3381 км, з = -5003)

Референце

1. Арфкен Г и Вебер Х. (2012). Математичке методе за физичаре. Опсежан водич. 7. издање Академска штампа. ИСБН 978-0-12-384654-9
2. Прорачун ццм. Решени проблеми цилиндричних и сферних координата. Опоравак од: Цалцуло.цц
3. Астрономска радионица Ширине и дужине. Опоравак од: тарифаматес.блогспот.цом/
4. Веисстеин, Ериц В. "Сферне координате." Са МатхВорлд-А Волфрам Веб-а. Опоравак од: матхворлд.волфрам.цом
5. википедиа. Сферни координатни систем. Опоравак од: ен.википедиа.цом
6. википедиа. Векторска поља у цилиндричним и сферним координатама. Опоравак од: ен.википедиа.цом