ПРАВОКУТНЕ КООРДИНАТЕ: ПРИМЕРИ И РЕШЕНЕ ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

У правоугаоних координате или Цартесиан су они који су добијени на правим углом вире три картезијанска осе Кс, И, З тачка се налази у три - дименсионал спаце.

Картезијеве оси су узајамно оријентисане линије окомито једна на другу. У картезијанском координатном систему свакој тачки у простору додјељују се три реална броја која су његове правоугаоне координате.

Слика 1. Правокутне координате тачке П (Властита разрада)

Равнина је потпростор тродимензионалног простора. У случају разматрања тачака на равнини, тада је довољно одабрати пар окомитих осе Кс, И као картезијански систем. Тада се свакој тачки на равнини додељују два реална броја која су његове правоугаоне координате.

Порекло правокутних координата

Правокутне координате првотно је предложио француски математичар Рене Десцартес (1596. и 1650.), због чега их зову картезијанске.

С овом идејом Десцартеса тачкама равнине и простора се додељују бројеви, тако да геометријске фигуре имају алгебарску једначину и класичне геометријске теореме се могу доказати алгебраички. Картезијанским координатама се рађа аналитичка геометрија.

Картезијански авион

Ако су у равнини изабране две окомите линије које се пресецају у тачки О; и ако је поред тога, свакој линији додељен правац и нумеричка скала између сукцесивних једнаких удаљених тачака, тада постоји картезијански систем или равнина у којој је свака тачка равнине повезана са уређеним паром два реална броја која су њихове пројекције на осе Кс и И.

Тачке А = (3, 2); Б = (- 2, 3); Ц = (- 2, -3) и Д = (3, -3) представљени су у картезијанској равни као што је приказано у наставку:

Слика 2. Тачке у картезијанској равни. (Властита обрада)

Имајте на уму да две осе Кс и И деле равнину на четири сектора која се зову квадратни. Тачка А је у првом квадранту, тачка Б је у другом квадранту, тачка Ц је у трећем квадранту, а тачка Д је у четвртом квадранту.

Удаљеност између две тачке

Удаљеност између две тачке А и Б на картезијанској равни је дужина сегмента који их спаја. Ова удаљеност може се аналитички израчунати на следећи начин:

д (А, Б) = √ (Бк - Ак) ^ 2 + (Би - Аи) ^ 2)

Горња формула добијена је применом питагорејске теореме.

Примјењујући ову формулу на тачке А, Б на слици 2 имамо:

д (А, Б) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

То јест, д (А, Б) = 5,10 јединица. Имајте на уму да је растојање добијено без потребе за мерењем са равнилом, поштован је потпуно алгебарски поступак.

Аналитички израз линије

Правокутне координате омогућавају аналитички приказ основних геометријских објеката као што су тачка и линија. Две тачке А и Б дефинишу једну линију. Нагиб линије је дефинисан као квоцијент између разлике И координата тачке Б минус А, подељене с разликом Кс координата тачке Б минус А:

нагиб = (Би - Аи) / (Бк - Аке)

Свака тачка П координата (к, и) која припада линији (АБ) мора имати исти нагиб:

нагиб = (и - Аи) / (к - сјекира)

Једнаџба која се добија путем једнакости косина је аналитички или алгебрични приказ линије која пролази кроз тачке А и Б:

(и - Аи) / (к - Ак) = (Би - Аи) / (Бк - Ак).

Ако за А и Б узмемо правоугаоне координате са слике 2:

(и - 2) / (к - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(и - 2) / (к - 3) = -⅕

У овом конкретном случају имамо линију са негативним нагибом -⅕, што значи да се смештањем у тачку на линији и повећањем к-координате за једну јединицу и-координата смањује за 0,2 јединице.

Најчешћи начин за писање једначине линије у равнини је са и координатом очишћеном као функција променљиве к:

и = - (1/5) к + 13/5

Примери

Пример 1

Добити аналитичким методама растојање између тачака Ц и А, које су правоугаоне координате Ц = (-2, -3) и тачке А = (3,2).

Формула за еуклидско растојање између ове две тачке пише овако:

д (А, Ц) = √ ((Цк - Ак) ^ 2 + (Ци - Аи) ^ 2)

Замјеном одговарајућих правокутних координата имамо:

д (А, Ц) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7.07

Пример 2

Добијте једначину правца који пролази кроз тачку Ц координата (-2, -3) и тачку П координата (2, 0).

Прво се добија нагиб линије ЦП:

нагиб = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

Било која тачка К опћих правокутних координата (к, и) која припада линији ЦП мора имати исти нагиб:

нагиб = (и - (- 3)) / (к - (-2)) = (и +3) / (к +2)

Другим речима, једначина ретка ЦП је:

(и +3) / (к +2) = ¾

Алтернативни начин да се напише једначина линијског ЦП је решење за и:

и = ¾ к - 3/2

Решене вежбе

Вежба 1

Добијте правоугаоне координате тачке пресека између линија и = - (1/5) к + 13/5 и линије и = ¾ к - 3/2.

Рјешење: По дефиницији, точке сјецишта двију линија дијеле исте правокутне координате. Стога су и-координате на тачки пресека идентичне за обе линије:

- (1/5) к + 13/5 = ¾ к - 3/2

што доводи до следећег израза:

(¾ + ⅕) к = 13/5 +3/2

решавањем зброја фракција добијамо:

19/20 к = 41/10

Решавање за к:

к = 82/19 = 4,32

Да би се добила вредност и пресека, добијена вредност к је замењена у било којем од линија:

и = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

То значи да се дате линије пресијецају у тачки И координата И = (4.32, 1.74).

Вежба 2

Добијте једначину обима која пролази кроз тачку Р правоугаоних координата (3, 4) и која има своје средиште на почетку координата.

Решење: Полумјер Р је удаљеност од тачке Р до почетка координата О (0, 0).

д (Р, О) = √ ((Рк - 0) ^ 2 + (Ри - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

То је, круг полумјера 5 центриран у (0,0).

Било која тачка П (к, и) на обиму мора бити на истој удаљености од центра (0, 0) како би се могло написати:

д (П, О) = √ ((к - 0) ^ 2 + (и - 0) ^ 2) = √ (к ^ 2 + и ^ 2) = 5

Односно:

√ (к ^ 2 + и ^ 2) = 5

Да бисте елиминисали квадратни корен, оба члана једнакости су квадратна, добијајући:

к ^ 2 + и ^ 2 = 25

Која је једначина обима.

Овај пример илуструје снагу правоугаоног координатног система, који омогућава одређивање геометријских објеката, попут обима, без потребе да се користе папир, оловка и компас. Тражени обим је одређен искључиво алгебарским методама.

Референце

1. Арфкен Г и Вебер Х. (2012). Математичке методе за физичаре. Опсежан водич. 7. издање Академска штампа. ИСБН 978-0-12-384654-9
2. Прорачун ццм. Решени су проблеми правоугаоних координата. Опоравак од: Цалцуло.цц
3. Веисстеин, Ериц В. "картезијанске координате." Са МатхВорлд-А Волфрам Веб-а. Опоравак од: матхворлд.волфрам.цом
4. википедиа. Картезијански координатни систем. Опоравак од: ен.википедиа.цом