БООЛОВА АЛГЕБРА: ИСТОРИЈА, ТЕОРЕМЕ И ПОСТУЛАТИ, ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Боолеан алгебра или Булова алгебра је алгебарска нотација се користи за лечење бинарних варијабли. Обухвата студије било које варијабле која има само 2 могућа исхода, комплементарна и међусобно искључива. На пример, променљиве чија је једина могућност тачна или лажна, тачна или нетачна, укључивање или искључивање су основа за проучавање боолове алгебре.

Боолова алгебра је основа дигиталне електронике због чега је данас прилично присутна. Њиме управља концепт логичке капије, при чему значајно утичу познате операције у традиционалној алгебри.

Извор: пекелс.цом

Историја

Боолеову алгебру увео је 1854. године енглески математичар Георге Бооле (1815 - 1864), који је тада био научник самоуки. Његова забринутост настала је из постојећег спора између Аугустуса Де Моргана и Виллиама Хамилтона, око параметара који дефинирају овај логички систем.

Георге Бооле је тврдио да дефиниција нумеричких вриједности 0 и 1 у пољу логике одговара интерпретацији Ништа и Универзума.

Георге Бооле је имао намеру да, кроз својства алгебре, дефинише изразе приједлоге логике неопходне за бављење променљивим бинарним типом.

1854. у књизи "Истраживање закона мишљења на којима почивају математичке теорије логике и вероватноће" објављени су најзначајнији одсеци булове алгебре.

Овај знатижељни наслов касније би био сумиран као "закони мисли" ("закони мисли"). Наслов је постао познат као непосредна пажња коју је добила од тадашње математичке заједнице.

1948. Цлауде Сханнон примијенио га је за дизајн бистабилних електричних склопних склопова. Ово је послужило као увод у примену боолеове алгебре у читавој електронско-дигиталној шеми.

Структура

Елементарне вредности у овој врсти алгебре су 0 и 1, што одговара ФАЛСЕ и ТРУЕ. Основне операције у Боолеовој алгебри су 3:

- И операцију или везу. Заступљен периодом (.). Синоним производа.

- ИЛИ рад или дисјункција. Представљано крстом (+). Синоним суме.

- НЕ руковање или негација. Представљен префиксом НОТ (НОТ А). Такође је позната и као надопуна.

Ако су у скупу А2 закони унутрашњег састава дефинисани као продукт и збир (. +), За троструку (А. +) се каже да је боолова алгебра ако и само ако наведена трострука испуњава услов да буде решетка дистрибутивни.

Да би се дефинисала дистрибутивна решетка, услови дистрибуције морају бити испуњени између датих операција:

. је дистрибутивни у односу на суму + а. (б + ц) = (а. б) + (а. ц)

+ је дистрибутивни у односу на производ. а + (б. ц) = (а + б). (а + ц)

Елементи који чине скуп А морају бити бинарни, тако да имају универзалне или празне вредности.

Апликације

Главни сценариј његове примене је дигитална грана, где служи за структуирање кола која чине логичке операције. Уметност једноставности кола у корист оптимизације процеса резултат је исправне примене и праксе Боолове алгебре.

Од разраде електричних панела, преношења података, па све до програмирања на различитим језицима, често можемо пронаћи боолеову алгебру у свим врстама дигиталних апликација.

Болове варијабле су веома честе у структури програмирања. Овисно о кориштеном програмском језику, у коду ће бити структурних операција које користе ове варијабле. Услови и аргументи сваког језика дозвољавају логичке варијабле да дефинирају процесе.

Постулати

Постоје теореме које управљају структуралним логичким законима булове алгебре. На исти начин постоје постулати који знају могуће резултате у различитим комбинацијама бинарних варијабли, зависно од операције која се изводи.

Збир (+)

Оператер ИЛИ чији је логички елемент унија (У) дефинисан је за бинарне променљиве на следећи начин:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Производ (.)

Оператор АНД чији је логички елемент пресек (∩) је за бинарне променљиве дефинисан на следећи начин:

0. 0 = 0

0. 1 = 0

једно . 0 = 0

једно . 1 = 1

Насупрот (НЕ)

Оператор НОТ чији је логички елемент комплемент (Кс) 'је за бинарне променљиве дефинисан на следећи начин:

НИЈЕ 0 = 1

НИЈЕ 1 = 0

Многи се постулати разликују од својих колега у конвенционалној алгебри. То је због домене променљивих. На пример, додавање универзумских елемената у Боолеовој алгебри (1 + 1) не може дати конвенционални резултат 2, јер не припада елементима бинарног скупа.

Теореме

Правило нула и јединства

Свака једноставна операција која укључује елемент са бинарним варијаблама је дефинисана:

0 + А = А

1 + А = 1

0. А = 0

једно . А = А

Једнаке моћи или идемпотенција

Операције између једнаких променљивих дефинишу се као:

А + А = А

ДО . А = А

Комплементација

Свака операција између променљиве и њеног комплемента је дефинисана као:

А + НЕ А = 1

ДО . НИЈЕ А = 0

Инволуција или двострука негација

Свака двострука негација сматрат ће се природном променљивом.

НОТ (НОТ А) = А

Комутативни

А + Б = Б + А; Коммутативност суме.

ДО . Б = Б. ДО ; Коммутативност производа.

Ассоциативе

А + (Б + Ц) = (А + Б) + Ц = А + Б + Ц; Асоцијативност суме.

ДО . (Б. Ц) = (А. Б). Ц = А. Б. Ц; Асоцијативност производа

Дистрибутивни

А + (Б. Ц) = (А + Б). (А + Ц); Дистрибуција суме у односу на производ.

ДО . (Б + Ц) = (А. Б) + (А + Ц); Дистрибутивност производа у односу на суму.

Закони апсорпције

Постоји више закона апсорпције међу више референци, неки од најпознатијих су:

ДО . (А + Б) = А

ДО . (НЕ А + Б) = А. Б

НЕ А (А + Б) = НЕ Б

(А + Б). (А + НЕ Б) = А

А + А. Б = А

А + НЕ А. Б = А + Б

НЕ А + А. Б = НЕ А + Б

ДО . Б + А. НИЈЕ Б = А

Морганова теорема

То су закони трансформације, који обрађују парове променљивих који у интеракцији између дефинисаних операција Боолове алгебре (+.).

НОТ (А. Б) = НОТ А + НОТ Б

НОТ (А + Б) = НЕ НОТ Б

А + Б = НЕ (НИЈЕ А + НЕ Б)

ДО . Б = НЕ (НИЈЕ А. НЕ Б)

Дуалност

Сви постулати и теоре посједују способност дуалитета. То подразумева да се разменом променљивих и операцијама добијена провера верификује. Односно, када мењате 0 за 1 и АНД за ИЛИ или обрнуто; створиће се израз који ће такође бити потпуно валидан.

На пример, ако се узима постулат

једно . 0 = 0

И дуалност се примењује

0 + 1 = 1

Добија се још један савршено валидан постулат.

Карнаугх Карта

Карнаугх-ова карта је дијаграм који се користи у Боолеовој алгебри за поједностављење логичких функција. Састоји се од дводимензионалног распореда сличног табелама истине приједлоге логике. Подаци из таблица истине могу се директно забиљежити на Карнаугх карти.

Карнаугх-ова карта може да прими процесе до 6 променљивих. За функције са већим бројем променљивих препоручује се употреба софтвера да би се поједноставио поступак.

Предложио га је 1953. Маурице Карнаугх, установљено је као фиксно средство на пољу боолове алгебре, јер његова примена синхронизује људски потенцијал са потребом да се поједноставе боолеови изрази, кључни аспект у флуидности дигиталних процеса.

Примери

Боолеова алгебра користи се за смањење логичких гејтова у кругу, при чему је приоритет да се сложеност или ниво кола појаве на најмањи могући израз. То је због рачунарског кашњења за које свака капија претпоставља.

У следећем примеру посматрат ћемо поједностављење логичког израза до његовог минималног израза, користећи теореме и постулате Боолеове алгебре.

НЕ (АБ + А + Б). НЕ (А + Б)

НЕ. НОТ (А + НОТ Б); Факторинг А са уобичајеним фактором.

НЕ. НОТ (А + НОТ Б); По теореми А + 1 = 1.

НЕ (А + Б). НОТ (А + НОТ Б); теоремом А. 1 = А

(НЕ А. НЕ Б). ;

По Моргановој теореми НЕ (А + Б) = НЕ А. НОТ Б

(НЕ А. НЕ Б). (НЕ А. Б); Двоструком негацијом теореме НОТ (НОТ А) = А

НИЈЕ А. НОТ Б. НИЈЕ А. Б; Алгебраиц групирање.

НИЈЕ А. НИЈЕ А. НОТ Б. Б; Коммутативност производа А. Б = Б. ДО

НИЈЕ А. НОТ Б. Б; Теоремом А. А = А

НИЈЕ А. 0; Теоремом А. НИЈЕ А = 0

0; Теоремом А. 0 = 0

ДО . Б. Ц + НЕ А + А. НОТ Б. Ц

ДО . Ц. (Б + НЕ Б) + НЕ А; Факторинг (А. Ц) са заједничким фактором.

ДО . Ц. (1) + НЕ; По теореми А + НЕ А = 1

ДО . Ц + НЕ А; По правилу нулте теореме и јединства 1. А = А

НЕ А + Ц ; По закону Моргана А + НЕ А. Б = А + Б

За ово решење мора се Морган-ов закон проширити тако да дефинише:

НОТ (НОТ А). Ц + НОТ А = НЕ А + Ц

Јер НЕ (НЕ А) = А инволуцијом.

Поједноставите логичку функцију

НИЈЕ А. НОТ Б. НОТ Ц + НОТ А. НОТ Б. Ц + НЕ А. НЕ своди се на минимални израз

НИЈЕ А. НОТ Б. (НЕ Ц + Ц) + НЕ НОТ Ц; Факторинг (НЕ А. НЕ Б) са заједничким фактором

НИЈЕ А. НОТ Б. (1) + НЕ НОТ Ц; По теореми А + НЕ А = 1

(НОТ А. НОТ Б) + (НОТ А. НОТ Ц); По правилу нулте теореме и јединства 1. А = А

НОТ А (НОТ Б + НОТ Ц); Факторинг НЕ А са заједничким фактором

НИЈЕ А. НЕ (Б. Ц); По Моргановим законима НОТ (А. Б) = НОТ А + НОТ Б

НЕ по Моргановим законима НОТ (А. Б) = НОТ А + НОТ Б

Било која од 4 подебљане опције подебљано је могуће решење за смањење нивоа кола

Поједноставите логичку функцију до њеног најједноставнијег облика

(А. НЕ Б. Ц + А. НЕ Б. Б. Д + НОТ А. НОТ Б). Ц

(А. НЕ Б. Ц + А. 0. Д + НЕ А. НЕ Б). Ц; Теоремом А. НИЈЕ А = 0

(А. НЕ Б. Ц + 0 + НЕ А. НЕ Б). Ц; Теоремом А. 0 = 0

(А. НЕ Б. Ц + НЕ А. НЕ Б). Ц; По теореми А + 0 = А

ДО . НОТ Б. Ц. Ц + НЕ А. НОТ Б. Ц; Дистрибуцијом производа у односу на суму

ДО . НОТ Б. Ц + НЕ А. НОТ Б. Ц; Теоремом А. А = А

НОТ Б. Ц (А + НЕ А) ; Факторинг (НЕ Б. Ц) са заједничким фактором

НОТ Б. Ц (1); По теореми А + НЕ А = 1

НОТ Б. Ц; По правилу нулте теореме и јединства 1. А = А

Референце

1. Боолеова алгебра и њене примјене Ј. Елдон Вхитеситт. Цонтинентал издавачка компанија, 1980.
2. Математика и инжењерство у рачунарским наукама. Цхристопхер Ј. Ван Вик. Институт за рачунарске науке и технологију. Национални биро за стандарде. Васхингтон, ДЦ 20234
3. Математика за рачунарске науке. Ериц Лехман. Гоогле Инц.
   Ф Тхомсон Леигхтон, одељење за математику и рачунарску науку и АИ лабораторију, Массацхуссеттс Институте оф Тецхнологи; Акамаи Тецхнологиес.
4. Елементи апстрактне анализе. Мицхеал О'Сеарцоид Одељење за математику. Универзитетски факултет Даблин, Белдфиелд, Дублинд.
5. Увод у логику и методологију дедуктивних наука. Алфред Тарски, Њујорк Оксфорд. Окфорд Университи пресс.