ВЕКТОРСКА АЛГЕБРА: ОСНОВЕ, ВЕЛИЧИНЕ, ВЕКТОРИ - МАТХС

Вектор алгебра је грана математике која проучава системе линеарних једначина, векторима, матрице, вектор простора и линеарних трансформација. Повезана је са областима као што су инжењеринг, решавање диференцијалних једначина, функционална анализа, истраживање операција, рачунарска графика, између осталог.

Друга област коју је линеарна алгебра усвојила је физика јер је кроз то било могуће развити проучавање физичких појава, описујући их употребом вектора. Ово је омогућило боље разумевање универзума.

Основе

Векторска алгебра настала је из проучавања кватериона (проширење реалних бројева) 1, и, ј и к, као и из картезијанске геометрије коју су промовисали Гиббс и Хеависиде, а који су схватили да ће вектори служити као инструмент за представљају различите физичке појаве.

Векторска алгебра проучава се кроз три основа:

Геометријски

Вектори су представљени линијама које имају оријентацију, а операције попут сабирања, одузимања и множења са реалним бројевима дефинисане су геометријским методама.

Аналитички

Опис вектора и њихово деловање врши се бројевима који се називају компонентама. Ова врста описа резултат је геометријског представљања, јер се користи координатни систем.

Аксиоматски

Направљен је опис вектора, без обзира на координатни систем или било коју врсту геометријског приказа.

Проучавање фигура у простору врши се кроз њихово представљање у референтном систему, који може бити у једној или више димензија. Међу главним системима су:

- Једнодимензионални систем, који је равна линија где једна тачка (О) представља почетак, а друга тачка (П) одређује размере (дужину) и његов смер:

- Правокутни координатни систем (дводимензионални), који се састоји од две окомите линије назване оси к и оси и, које пролазе кроз тачку (О) порекла; на овај начин равнина је подељена у четири региона која се називају квадранти. У овом случају тачка (П) у равнини је дата размацима који постоје између осе и П.

- Поларни координатни систем (дводимензионални). У овом случају систем се састоји од тачке О (порекла) која се назива полом и зраке са пореклом у О назива се поларном осе. У овом случају тачка П равнине, у односу на пол и поларну ос, је дата под углом (Ɵ), који је формиран растојањем између порекла и тачке П.

- Правокутни тродимензионални систем, формиран трима окомитим линијама (к, и, з) чије је порекло тачка О у простору. Формиране су три координатне равни: ки, кз и из; простор ће бити подељен у осам региона званих октани. Референца тачке П у простору је дата размацима који постоје између равни и П.

Величине

Величина је физичка величина која се може пребројати или измерити нумеричким вредностима, као у случају неких физичких појава; међутим, много пута је потребно да се ови феномени могу описати другим факторима осим нумеричким. Зато су величине разврстане у две врсте:

Скаларна величина

То су оне количине које су дефинисане и представљене нумерички; то јест, помоћу модула заједно са јединицом мере. На пример:

а) Време: 5 секунди.

б) Маса: 10 кг.

ц) Запремина: 40 мл.

д) Температура: 40 ° Ц.

Величина вектора

То су оне количине које су дефинисане и представљене модулом заједно са јединицом, као и осећајем и правцем. На пример:

а) Брзина: (5и - 3й) м / с.

б) Убрзање: 13 м / с ² ; С 45º Е.

ц) Снага: 280 Н, 120º.

д) Тежина: -40 й кг-ф.

Векторске количине су графички представљене векторима.

Шта су вектори?

Вектори су графички прикази векторске количине; то су они сегменти линија у којима је њихов крајњи крај врх стрелице.

Они се одређују његовим модулом или дужином сегмента, његовим правцем који је назначен врхом стрелице и његовим правцем према линији којој припада. Порекло вектора је такође познато као тачка примене.

Елементи вектора су следећи:

Модул

То је удаљеност од порекла до краја вектора, представљена стварним бројем заједно са јединицом. На пример:

-ОМ- = -А- = А = 6 цм

Адреса

То је мера угла која постоји између оси к (од позитивне) и вектора, као и кардиналне тачке (север, југ, исток и запад).

Сенсе

Даје се стрелицом смештеном на крају вектора, назначавајући куда иде.

Класификација вектора

Вектори су класификовани као:

Фиксни вектор

То је она чија је тачка примене (порекло) фиксирана; то јест, остаје повезана са тачком у простору, тако да се у њој не може кретати.

Фрее вецтор

Може се слободно кретати у простору јер се његово порекло креће у било којој тачки без промене модула, смера или смера.

Клизач вектор

Она може пренети своје порекло дуж своје линије деловања без промене модула, смера или смера.

Својства вектора

Међу главним својствима вектора су следећа:

Вецторс теамленсес

То су они слободни вектори који имају исти модул, смер (или су паралелни) и осећају као клизни вектор или фиксни вектор.

Еквивалентни вектори

Јавља се када два вектора имају исти правац (или су паралелни), истог смисла, и упркос томе што имају различите модуле и тачке примене, изазивају исте ефекте.

Векторска једнакост

Они имају исти модул, правац и смисао, чак и када су њихове почетне тачке различите, што омогућава паралелном вектору да сам преведе, а да на то не утиче.

Насупрот векторима

Они су који имају исти модул и смер, али њихово значење је супротно.

Јединица вектора

Она је једна у којој је модул једнак јединици (1). Ово се добија дељењем вектора са његовим модулом и користи се за одређивање правца и осећаја вектора, било у равнини или у простору, користећи базне или нормализоване јединичне векторе, који су:

Нулл вецтор

Она је чији је модул једнак 0; то јест, њена тачка порекла и краја подударају се на истој тачки.

Компоненте вектора

Компоненте вектора су оне вредности пројекција вектора на осе референтног система; У зависности од распадања вектора, који може бити на дводимензионалној или тродимензионалној оси, добиће се две, односно три компоненте, респективно.

Компоненте вектора су реални бројеви, који могу бити позитивни, негативни или чак нула (0).

Дакле, ако имамо вектор А, са пореклом у правокутном координатном систему у ки равнини (дводимензионални), пројекција на оси к је Ак, а пројекција на оси и је Аи. Дакле, вектор ће бити изражен као збир његових вектора.

Примери

Први пример

Имамо вектор А који полази од порекла и дају се координате његових крајева. Дакле, вектор А = (А _к , А _и ) = (4, 5) цм.

Ако вектор А делује на извор тродимензионалног трокутастог координатног система (у простору) к, и, з, до друге тачке (П), пројекције на његове осе ће бити Ак, Аи и Аз; на тај начин, вектор ће бити изражен као збир његових три компонентних вектора.

Други пример

Имамо вектор А који полази од порекла и дају се координате његових крајева. Дакле, вектор А = (А _к , А _и, А _з ) = (4, 6, -3) цм.

Вектори који имају своје правоугаоне координате могу се изразити на основу њихових основних вектора. За то, свака координата мора бити умножена само са својим припадајућим векторима на такав начин да ће за равнину и простор бити следећи:

За равнину: А = А _к и + А _и ј.

За простор: А = А _к и + А _и ј + А _з к.

Векторске операције

Постоје многе количине које имају модул, смисао и смер, попут убрзавања, брзине, померања, силе између осталог.

Оне се примењују у разним областима науке, а да би се примењивала неопходно је у неким случајевима изводити операције као што су сабирање, одузимање, множење и дељење вектора и скалара.

сабирање и одузимање вектора

Додавање и одузимање вектора сматра се једном алгебрском операцијом, јер се одузимање може записати као збир; на пример, одузимање вектора А и Е може се изразити као:

А - Е = А + (-Е)

Постоје различите методе за обављање сабирања и одузимања вектора: могу бити графичке или аналитичке.

Графичке методе

Користи се када вектор има модул, правац и смер. За то су цртане линије које формирају лик који ће касније помоћи да се утврди резултат. Међу најпознатије су:

Параллелограм метода

Да бисте направили сабирање или одузимање два вектора, изабрана је заједничка тачка на оси координата - која ће представљати тачку порекла вектора -, задржавајући њен модул, правац и смер.

Линије су затим повучене паралелно са векторима да би формирале паралелограм. Резултирајући вектор је дијагонала која иде од тачке настанка оба вектора до врха паралелограма:

Трокутни метод

У овој се методи вектори постављају један за другим, задржавајући своје модуле, упутства и правце. Резултирајући вектор ће бити сједињење порекла првог вектора са крајем другог вектора:

аналитичке методе

Два или више вектора се могу додати или одузети геометријском или векторском методом:

Геометријска метода

Када два вектора формирају троугао или паралелограм, м) .пусх ({});

- Скеларно дистрибутивно својство: ако се вектор множи са збројем два скалара, оно је умножавање вектора за сваки скалар.

Умножавање вектора

Умножавање или продукт вектора могло би се извршити као сабирање или одузимање, али то на тај начин губи физичко значење и готово се никада не налази у апликацијама. Из тог разлога, најчешће коришћене врсте производа су скаларни и векторски производ.

Сцалар производ

Познат је и као тачкасти продукт два вектора. Када се модули два вектора помноже са косинусом најмањег угла формираног између њих, добија се скалар. Да би се изразио скаларни производ између два вектора, између њих се поставља тачка, која се може дефинисати као:

Вредност угла који постоји између два вектора зависиће од тога да ли су паралелни или окомити; на тај начин, морате:

- Ако су вектори паралелни и имају исти смисао, косинус 0º = 1.

- Ако су вектори паралелни и имају супротне правце, косинус је 180º = -1.

- Ако су вектори окомити, косинус 90º = 0.

Тај угао се такође може израчунати знајући да:

Тачкасти производ има следећа својства:

- Комутативно својство: редослед вектора не мења скалар.

-Дистрибутивно својство: ако се скалар помножи са збиром два вектора, оно је умножавање скалара за сваки вектор.

Векторски производ

Векторско множење, или унакрсни продукт два вектора А и Б, резултираће новим вектором Ц и изражава се коришћењем укрштања између вектора:

Нови вектор имаће своје карактеристике. Онуда:

- Правац: овај нови вектор ће бити окомит на равнину, коју одређују оригинални вектори.

- Смјер: ово се одређује правилом десне руке, гдје се вектор А окреће према Б, што означава смјер ротације прстима, а правац вектора је означен палцем.

- Модул: одређује се множењем модула вектора АкБ, синусом најмањег угла који постоји између ових вектора. Изражава се:

Вредност угла који постоји између два вектора зависиће од тога да ли су паралелни или окомити. Дакле, могуће је навести следеће:

- Ако су вектори паралелни и имају исти смисао, синус 0º = 0.

- Ако су вектори паралелни и имају супротне правце, синус 180 ° = 0.

- Ако су вектори окомити, синус 90º = 1.

Када се векторски производ изрази у базним векторима, имамо: