ДОПУНСКИ УГЛОВИ: ШТА СУ, ПРОРАЧУН, ПРИМЕРИ, ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Два или више су допунски углови ако сума њихових мера одговара мерилу правог угла. Мера правог угла, који се такође назива равнински угао, у степенима је 180 °, а у радијанима је π.

На пример, налазимо да су три унутрашња угла троугла надопуњујућа, јер је збир њихових мера 180º. Три угла приказана су на слици 1. Из горе наведеног произлази да су α и β допунски, будући да су суседни и њихова сума употпуњава раван угао.

Слика 1: α и β су допунски. α и γ су допунски. Извор: Ф. Запата.

Такође на истој слици имамо углове α и γ који су такође допунски, јер је збир њихових мера једнак мери равнине угла, односно 180º. Не може се рећи да су углови β и γ допунски јер су, пошто су оба угла обет, њихове мере веће од 90º и стога њихова сума прелази 180º.

Извор: лифедер.цом

Уместо тога, може се рећи да је мера угла β једнака мери угла γ, пошто је ако је β допунски α, а γ допунски α, тада је β = γ = 135º.

Примери

У следећим примерима тражи се проналазак непознатих углова, означених знаковима питања на слици 2. Они се крећу у распону од најједноставнијих примера до неких мало сложенијих да читалац треба да буде пажљивији.

Слика 2. Неколико обрађених примера допунских углова. Извор: Ф. Запата.

Пример А

На слици имамо да суседни углови α и 35º доводе до равног угла. То је, α + 35º = 180º и зато је тачно да је: α = 180º- 35º = 145º.

Пример Б

Пошто је β допунски са углом од 50º, онда следи да је β = 180º - 50º = 130º.

Пример Ц

Са слике 2Ц може се видети следећа сума: γ + 90º + 15º = 180º. Односно, γ је допунски са углом 105º = 90º + 15º. Тада се закључује да:

γ = 180º- 105º = 75º

Пример Д

Пошто је Кс допунски на 72 °, следи да је Кс = 180 ° - 72 ° = 108 °. Штавише, И је допунски с Кс, тако да је И = 180º - 108º = 72º.

И на крају З је допунски са 72º, дакле З = 180º - 72º = 108º.

Пример Е

Углови δ и 2δ су допунски, дакле δ + 2δ = 180º. Што значи да је 3δ = 180º, а то нам заузврат омогућава да напишемо: δ = 180º / 3 = 60º.

Пример Ф

Ако угао називамо између 100 ° и 50 ° У, тада је У допуњујући оба, јер се примећује да њихова сума комплетира раван угао.

Одмах следи да је У = 150º. Пошто је У супротна с врхом В, тада је В = У = 150º.

Вежбе

У наставку су предложене три вежбе, у којима се морају наћи вредности углова А и Б у степенима, тако да се испуњавају односи приказани на слици 3. Концепт допунских углова користи се у решавању свих њих.

Слика 3. Слика за решавање вежби И, ИИ и ИИИ на допунским угловима. Сви углови су у степенима. Извор: Ф. Запата.

- Вежба И

Одредите вредности углова А и Б из дела И) на слици 3.

Решење

А и Б су допунски, из чега имамо да је А + Б = 180 степени, тада је израз А и Б замењен функцијом к, као што се појављује на слици:

(к + 15) + (5к + 45) = 180

Добива се линеарна једначина првог реда. Да бисте то решили, термини су групирани у наставку:

6 к + 60 = 180

Подела оба члана са 6 имамо:

к + 10 = 30

И на крају решавања, следи да к вреди 20º.

Сада морамо прикључити вредност к да бисмо пронашли тражене углове. Дакле, угао А је: А = 20 +15 = 35 °.

А са свог дела, угао Б је Б = 5 * 20 + 45 = 145 °.

- Вежба ИИ

Пронађите вредности углова А и Б из дела ИИ) на слици 3.

Решење

Пошто су А и Б допунски углови, имамо да је А + Б = 180 степени. Замењујући изразе за А и Б као функцију к дате у делу ИИ) на слици 3, имамо:

(-2к + 90) + (8к30) = 180

Поново је добијена једначина првог степена, за коју појмови морају бити прикладно групирани:

6 к + 60 = 180

Подела оба члана са 6 имамо:

к + 10 = 30

Из чега произлази да к вреди 20º.

Другим речима, угао А = -2 * 20 + 90 = 50º. Док је угао Б = 8 * 20 - 30 = 130º.

- Вежба ИИИ

Одредите вредности углова А и Б из дела ИИИ) слике 3 (зеленом бојом).

Решење

Пошто су А и Б допунски углови, имамо да је А + Б = 180 степени. Морамо заменити изразе за А и Б као функцију к дате на слици 3 из које имамо:

(5к - 20) + (7к + 80) = 180

12 к + 60 = 180

Подела оба члана са 12 да бисмо решили вредност к, имамо:

к + 5 = 15

На крају је утврђено да к вреди 10 степени.

Сада настављамо са заменом да бисмо пронашли угао А: А = 5 * 10 -20 = 30 °. А за угао Б: Б = 7 * 10 + 80 = 150 °

Допунски углови у две паралеле сечене секантом

Слика 4. Углови између две паралеле исечене секантом. Извор: Ф. Запата.

Две паралелне линије пресечене секантом уобичајена су геометријска конструкција у неким проблемима. Између таквих линија формира се 8 углова као што је приказано на слици 4.

Од тих 8 углова, неки парови углова су додатни, а које наводимо у наставку:

1. Спољни углови А и Б, а спољашњи углови Г и Х
2. Унутрасњи углови Д и Ц, а унутрасњи углови Е и Ф
3. Спољни углови А и Г, а спољашњи углови Б и Х
4. Унутрасњост угла Д и Е, а унутрасњост Ц и Ф

Ради потпуности, углови једнаки једни другима су такође именовани:

1. Интерни наизменично се мењају: Д = Ф и Ц = Е
2. Спољне измене: А = Х и Б = Г
3. Одговарајуће: А = Е и Ц = Х
4. Супротности врховима А = Ц и Е = Х
5. Одговарајуће: Б = Ф и Д = Г
6. Врховна супротност Б = Д и Ф = Г

- Вежба ИВ

Према слици 4, која приказује углове између две паралелне линије пресечене секантом, одредите вредност свих углова у радијанима, знајући да је угао А = π / 6 радијана.

Решење

А и Б су додатни спољни углови, тако да су Б = π - А = π - π / 6 = 5π / 6

А = Е = Ц = Х = π / 6

Б = Ф = Д = Г = 5π / 6

Референце

1. Балдор, ЈА 1973. Геометрија летелица и свемира. Средњоамеричка културна.
2. Математички закони и формуле. Системи за мерење угла. Опоравак од: ингемецаница.цом.
3. Вентвортх, Г. Плане Геометри. Опоравак од: гутенберг.орг.
4. Википедиа. Додатни углови. Опоравак од: ес.википедиа.цом
5. Википедиа. Транспортна трака. Опоравак од: ес.википедиа.цом
6. Запата Ф. Гониометро: историја, делови, операција. Опоравак од: лифедер.цом